Question

3．已知△ABC，小明按如下步驟作圖（如圖）：
①以A為圓心，AB長為半徑畫��；
②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；
③連結BD，與AC交于點E，連結AD，CD．根據(jù)以上步驟作圖，解答下列問題：
（1）求證：△ABC≌△ADC；
（2）若∠BAC=30°，∠BCA=45°，EC=4，求AB的長．

Answer 1

分析 （1）直接根據(jù)SSS證明全等；
（2）根據(jù)全等得∠BCA=∠DCA=45°，又由CD=CB得∠CBD=∠CDB=45°，所以得出BE的長，再由直角△ABE中，根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半可以求出AB=8．

解答 證明：（1）∵AB=AD，BC=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC（SSS）；
（2）∵△ABC≌△ADC；
∴∠BCA=∠DCA=45°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=45°，
∴CE=BE=4，
∴∠AEB=90°，
在Rt△AEB中，∠BAC=30°，
∴AB=2BE=2×4=8．

點評 本題是通過基本作圖來考查了全等三角形的性質和判定，屬于基礎題，難度不大；關鍵是運用全等三角形的對應角相等得出45°角，再利用等角對等邊得出邊的關系．