Question

2．元旦期間，為了滿足長豐縣百姓的消費需要，某大型商場計劃用170000元購進一批家電，這批家里的進價和售價如表：

類別	彩電	冰箱	洗衣機
進價（元/臺）	2000	1600	1000
售價（元/臺）	2300	1800	1100

若在現有資金允許的范圍內，購買表中三類家電共100臺，其中彩電臺數是冰箱臺數的2倍，設該商場購買冰箱x臺．
（1）用含x的代數式表示洗衣機的臺數．
（2）商場至多可以購買冰箱多少臺？
（3）購買冰箱多少臺時，能使商場銷售完這批家電后獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？

Answer 1

分析 （1）根據彩電臺數+冰箱臺數+洗衣機臺數=100，即可用含x的代數式表示洗衣機的臺數；
（2）根據總價=單價×數量，可列出關于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，根據x為正整數即可得出結論；
（3）設該商場的利潤為W，根據利潤=單臺利潤×數量可列出W關于x的函數關系式，根據一次函數的性質結合（2）的結論即可解決最值問題．

解答 解：（1）∵彩電臺數是冰箱臺數的2倍，該商場購買冰箱x臺，
∴購買彩電的臺數為2x臺，
∵購買三類家電共100臺，
∴購買洗衣機的臺數為100-x-2x=-3x+100臺．
（2）由已知得：
2000×2x+1600x+1000×（-3x+100）≤170000，
解得：x≤26$\frac{12}{13}$．
∵x為正整數，
∴商場至多可以購買冰箱26臺．
（3）設該商場的利潤為W，根據已知得：
W=（2300-2000）2x+（1800-1600）x+（1100-1000）（-3x+100）=500x+10000．
∵k=500＞0，
故W關于x的函數在x的取值范圍內單調遞增，
∴當x=26時，W取最大值，W_最大=500×26+10000=23000元．
答：購買冰箱26臺時，能使商場銷售完這批家電后獲得的利潤最大，最大利潤，23000元．

點評 本題考查了一次函數的應用以及解一元一次不等式，解題的關鍵：（1）根據數量關系用x表示出購買洗衣機的臺數；（2）結合數量關系列出關于x的一元一次不等式；（3）根據一次函數的性質解決最值問題．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據數量關系列出方程（不等式和函數關系式）是關鍵．