Question

16．如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．
（1）求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)D為x軸上的任意一點(diǎn)（A點(diǎn)除外），當(dāng)△DCB與△ACB相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）若直線l過(guò)點(diǎn)P （4，0 ），Q為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A、B、Q為頂點(diǎn)所作的直角三角形有且只有三個(gè)時(shí)，求直線l的解析式．

Answer 1

分析 （1）分別令x=0，y=0，即可解決問(wèn)題、
（2）由△CBD∽△ABC，得$\frac{CB}{AB}$=$\frac{DB}{CB}$求出DB，即可解決問(wèn)題．
（3）法一：如圖2，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)Q．以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)Q了，由題意可知直線l與⊙G相切于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可．
法二，求出點(diǎn)Q₁坐標(biāo)，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）令y=0，得x=-3或1，
∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（-3，0）、B（1，0）；
令x=0，得y=3，
∴點(diǎn)C（0，3）．
（2）如圖，在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，BO=1，OC=3，
∴BC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵D為x軸上的任意一點(diǎn)（A點(diǎn)除外），△DCB與△ACB相似時(shí)
∴只有△CBD∽△ABC，
∴$\frac{CB}{AB}$=$\frac{DB}{CB}$，
∴DB=$\frac{C{B}^{2}}{AB}$=$\frac{10}{4}$=$\frac{5}{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$，
故點(diǎn)D（-$\frac{3}{2}$，0），
（3）法一：如圖2，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)Q．
以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)Q了．
由題意可知直線l與⊙G相切于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，那么GQ⊥l．作QM⊥x軸于M，
在Rt△PGQ中，GQ=2，GP=5，所以PQ=$\sqrt{21}$．
則sin∠QGP=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，cos$∠QGP=\frac{2}{5}$，
∵sin∠QGP=$\frac{QM}{QG}$=$\frac{\sqrt{21}}{5}$，
∴QM=$\frac{2\sqrt{21}}{5}$，
∵cos∠QGP=$\frac{GM}{QG}$=$\frac{2}{5}$，
∴GM=$\frac{4}{5}$，
∴OM=$\frac{1}{5}$，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$-\frac{1}{5}$，$\frac{{2\sqrt{21}}}{5}$），
∴直線l為y=-$\frac{2\sqrt{21}}{21}$x+$\frac{8\sqrt{21}}{21}$，
根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是$y=\frac{{2\sqrt{21}}}{21}x-\frac{{8\sqrt{21}}}{21}$．
（3）法二：如圖2，過(guò)點(diǎn)A、B分別作x軸的垂線，這兩條垂線與直線l總是有交點(diǎn)的，即2個(gè)點(diǎn)Q．
以AB為直徑的⊙G如果與直線l相交，那么就有2個(gè)點(diǎn)Q；如果圓與直線l相切，就只有1個(gè)點(diǎn)Q了．
由題意可知直線l與⊙G相切于點(diǎn)Q，連結(jié)GQ，那么GQ⊥l．
在Rt△PGQ中，GQ=2，GP=5，所以PQ=$\sqrt{21}$．
由tan∠QPA=$\frac{GQ}{PQ}$=$\frac{A{Q}_{1}}{AP}$，得AQ₁=$\frac{2\sqrt{21}}{3}$，
∴Q₁（-3，$\frac{2\sqrt{21}}{3}$），
直線l為y=-$\frac{2\sqrt{21}}{21}$x+$\frac{8\sqrt{21}}{21}$，
根據(jù)對(duì)稱性，直線l還可以是$y=\frac{{2\sqrt{21}}}{21}x-\frac{{8\sqrt{21}}}{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造圓解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)正確畫出圖形利用三角函數(shù)解決，屬于中考?jí)狠S題．