Question

11．如圖1，在△ABC中．∠C=90°，AC＞BC，正方形CDEF的頂點D在邊AC上，點F在射線CB上設CD=x，正方形CDEF與△ABC重疊部分的面積為S，S關于x的函數圖象如圖2所示（其中0＜x≤m，m＜x≤2，2＜x≤n時，函數的解析式不同）．
（1）填空：m的值為$\frac{3}{2}$；
（2）求S關于x的函數解析式，并寫出x的取值范圍；
（3）S的值能否為$\frac{13}{2}$？若能，直接寫出此時x的值；若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）當0＜x≤m時，結合圖形可知S=x²，把點（m，$\frac{9}{4}$）代入可求得m的值；
（2）結合圖形的變換可知當m＜x≤2時，點F運動到點B，可求得BC，當x=m時，可得△BEF∽△BAC，利用相似三角形的性質可求得AC的長，當m＜x≤2，設AB分別交DE、EF于點P、Q兩點，可用x分別表示出PE和QE，S=S_{正方形CDEF}-S_△PEQ，可得到S與x的關系式，當2＜x≤n時，設AB交DE于點H，可用x表示出AP和PH，則有S=S_△ABC-S_△APH，可得到S與x的關系式，從而可求得函數解析式；
（3）利用（2）中所求得關系式，分別令S=$\frac{13}{2}$，解相應的方程進行判斷即可．

解答 解：（1）當0＜x≤m時，如圖1，

則可知點F從C點運動到點E運動到AB上，
∴S=x²，
∵點（m，$\frac{9}{4}$）在函數圖象上，
∴m²=$\frac{9}{4}$，解得m=$\frac{3}{2}$或m=-$\frac{3}{2}$（舍去），
故答案為：$\frac{3}{2}$；
（2）當$\frac{3}{2}$＜x≤2時，可知點F從E點在AB上運動到B點，
∴BC=2，
在圖1中，由EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{EF}{AC}$，且CF=EF=$\frac{3}{2}$，BF=BC-CF=2-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}}{2}$=$\frac{\frac{3}{2}}{AC}$，解得AC=6，
①當0＜x≤$\frac{3}{2}$時，由（1）可知S=x²；
②當$\frac{3}{2}$＜x≤2時，設AB分別交DE、EF于點P、Q兩點，如圖2，

當CD=CF=DE=EF=x時，BF=2-x，AD=6-x，
∵EF∥AC，
∴$\frac{BF}{BC}$=$\frac{FQ}{AC}$，即$\frac{2-x}{2}$=$\frac{FQ}{6}$，
∴FQ=3（2-x），
∴QE=EF-FQ=x-3（2-x）=4x-6，
同理可得$\frac{PD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{PD}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴PD=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴PE=DE-PD=x-$\frac{1}{3}$（6-x）=$\frac{1}{3}$（4x-6），
∴S_△PEQ=$\frac{1}{2}$PE•PQ=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（4x-6）•（4x-6）=$\frac{1}{6}$（4x-6）²，
∴S=S_{正方形CDEF}-S_△PEQ=x²-$\frac{1}{6}$（4x-6）²=-$\frac{5}{3}$x²+8x-6；
③當2＜x≤6時，即點F從B點運動到使A、D重合，設AB交DE于點H，如圖3，

當CD=x時，則AD=6-x，
同理可得$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，即$\frac{DH}{2}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴DH=$\frac{1}{3}$（6-x），
∴S_△ADH=$\frac{1}{2}$DH•AD=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$（6-x）•（6-x）=$\frac{1}{6}$（6-x）²，且S_△ABC=$\frac{1}{2}$AC•BC=6，
∴S=S_△ABC-S_△APH=6-$\frac{1}{6}$（6-x）²=-$\frac{1}{6}$x²+2x；
綜上可知S=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}（0＜x＜\frac{3}{2}）}\\{-\frac{5}{3}{x}^{2}+8x-6（\frac{3}{2}＜x≤2）}\\{-\frac{1}{6}{x}^{2}+2x（2＜x≤6）}\end{array}\right.$，且0＜x≤6；
（3）若S=$\frac{13}{2}$，則有三種情況，
①當x²=$\frac{13}{2}$時，則x=±$\frac{\sqrt{26}}{2}$，當x=-$\frac{\sqrt{26}}{2}$時顯然不滿足條件，當x=$\frac{\sqrt{26}}{2}$時，$\frac{\sqrt{26}}{2}$＞$\frac{3}{2}$，也不滿足條件；
②當-$\frac{5}{3}$x²+8x-6=$\frac{13}{2}$時，整理可得10x²-48x+75=0，該方程判別式△=48²-4×10×75＜0，即該方程無實數解；
③當-$\frac{1}{6}$x²+2x=$\frac{13}{2}$時，整理可得x²-12x+39=0，該方程判別式△=12²-4×39＜0，即該方程無實數解；
綜上可知S的值不能為$\frac{13}{2}$．

點評 本題為四邊形的綜合應用，涉及知識點有正方形的性質、相似三角形的判定和性質、一元二次方程及分類討論等．確定出正方形所運動到的位置與對應的函數圖象中對應的點是解題的關鍵，在（2）、（3）中確定出AC和BC的長是解題的關鍵．本題考查知識點較多，綜合性較強，特別是第（2）問難度較大．