Question

6．如圖，已知l₁⊥l₂，⊙O與l₁，l₂都相切，⊙O的半徑為2cm．矩形ABCD的邊AD，AB分別與l₁，l₂重合，AB=4$\sqrt{3}$cm，AD=4cm．若⊙O與矩形ABCD沿l₁同時向右移動，⊙O的移動速度為3cm/s，矩形ABCD的移動速度為4cm/s，設(shè)移動時間為t（s）．
（1）如圖②，兩個圖形移動一段時間后，⊙O到達(dá)⊙O₁的位置，矩形ABCD到達(dá)A₁B₁C₁D₁的位置，此時點(diǎn)O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上，則移動時間t=2+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$．
（2）在移動過程中，圓心O到矩形對角線AC所在直線的距離在不斷變化，設(shè)該距離為d（cm）．當(dāng)d＜2時，求t的取值范圍2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$＜t＜2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）連接OO₁，并延長交l₂于點(diǎn)E，過點(diǎn)O₁作O₁F⊥l₁于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)O₁，A₁，C₁恰好在同一直線上時，AA₁-A₁F=O₁E；
（2）當(dāng)d=2時，⊙O與直線AC相切，且直線AC與⊙O相切有兩種情況，①當(dāng)直線AC在⊙O的左邊時，AA₁+A₁F=O₁E；②當(dāng)直線AC在⊙O的右邊，AA₁-A₁F=O₁E．

解答 解：（1）連接OO₁，并延長交l₂于點(diǎn)E，如圖1，
過點(diǎn)O1作O₁F⊥l₁于點(diǎn)F，
∴由題意知：OO₁=3t，AA₁=4t，
∵tan∠DAC=$\frac{CD}{AD}=\sqrt{3}$，
∴∠DAC=60°，
∴tan∠O₁A₁F=$\frac{{O}_{1}F}{{A}_{1}F}$，
∴A₁F=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∵AA₁-A₁F=O₁E，
∴4t-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=3t+2，
∴t=2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；

（2）當(dāng)d=2時，
此時⊙O與直線AC相切，
當(dāng)直線AC在⊙O的左邊，如圖2，
由（1）可知，A₁F=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
∴AA₁+A₁F=O₁E，
∴4t+$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$=3t+2，
∴t=2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，
當(dāng)直線AC在⊙O的右邊，如圖3，
此時，A₁F=2$\sqrt{3}$
∴AA₁-A₁F=O₁E，
∴4t-2$\sqrt{3}$=3t+2，
∴t=2+2$\sqrt{3}$，
綜上所述，當(dāng)d＜2時，t的取值范圍為：2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$＜t＜2+2$\sqrt{3}$．
故答案為：（1）2+$\frac{2}{3}\sqrt{3}$；（2）2-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$＜t＜2+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查圓的綜合問題，涉及切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解方程等知識，內(nèi)容較為綜合，考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力．