Question

2．如圖所示，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，MN⊥AB，且S_△AMN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，則四邊形BCMN的外接圓的半徑等于$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

Answer 1

分析 連接BM根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，求得AN=2，MN=$\frac{3}{2}$，根據(jù)勾股定理得到BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，推出BM是⊙O的直徑，于是得到結(jié)論．

解答 解：連接BM，∵∠BAC=∠MAN，∠ACB=∠ANM=90°，
∴△ABC∽△AMN，
∵S_△AMN=$\frac{1}{4}$S_△ABC，
∴$\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴AN=2，MN=$\frac{3}{2}$，
∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∴BN=AB-AN=3，
∴BM=$\sqrt{B{N}^{2}+M{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∵∠C=90°，
∴BM是⊙O的直徑，即四邊形BCMN的外接圓的直徑，
∴四邊形BCMN的外接圓的半徑=$\frac{1}{2}$BM=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的外接圓與外心，勾股定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．