Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x²-4x+3的圖象與x軸交于M和N兩點(diǎn)，且與y軸交于D，直線l是拋物線的對(duì)稱軸．
（1）求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸．
（2）若過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）令y=0即可得到有關(guān)x的方程，求解后即可確定M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)直線AB與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，得出AC，BC的長(zhǎng)，得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；
（3）利用三角形相似求出△ABC∽△CBF，即可求出圓的半徑，即可得出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）令y=x²-4x+3=0，
解得：x=1或x=3，
故M、N的坐標(biāo)分別為（1，0）和（3，0），
對(duì)稱軸為：x=

1+3

2

=2；

（2）∵過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的三角形面積為6
∴

1

2

AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），
一次函數(shù)解析式為：y=kx+b，
∴

4=2k+b 0=-k+b

，
解得：

k= 4 3 b= 4 3

，
y=

4

3

x+

4

3

；
當(dāng)點(diǎn)B在x軸下方，
∵拋物線的對(duì)稱軸和x軸圍成的面積為6，
∴B′C=4，
∴B′（2，-4），
∴

-4=-2k+b 0=-k+b

，
∴

k=- 4 3 b=- 4 3

，
可得：y=-

4

3

x-

4

3

；

（3）過(guò)點(diǎn)P作FP⊥AB，設(shè)半徑PC=PF=r，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上面時(shí)，
∵∠ABC=∠PBF，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴

PB

PF

=

AB

AC

，即

4-r

r

=

5

3

，
∴r=1.5，
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1.5），
如圖2，∵∠B=∠B，
∠BCA=∠BFP=90°，
∴△BPF∽△BAC，
∴

PB

PF

=

AB

AC

，
即

4+r

r

=

5

3

，
∴r=6，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-6），
當(dāng)點(diǎn)B在x軸的下面，同理可得出P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，-1.5）和（2，6），
∴P點(diǎn)坐標(biāo)有4種情況：（2，-1.5）或（2，6）、（2，1.5）或（2，-6）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是初中階段的重點(diǎn)題型特別注意利用數(shù)形結(jié)合是這部分考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)同學(xué)們應(yīng)重點(diǎn)掌握．