Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中xOy中，拋物線y=mx²-2mx-2（m≠0）與y軸交于點(diǎn)A，其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)B
（1）求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；
（2）若直線l與直線AB關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，該拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，并且在2＜x＜3這一段位于直線AB的下方，求該拋物線的解析式；
（3）（2）中拋物線上兩點(diǎn)P、Q，若點(diǎn)P、Q繞某點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°相應(yīng)得P₁（-6，-1）、Q₁（0，0）兩點(diǎn)，求以PQ為對(duì)角線的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）令x=0求出y的值，即可得到點(diǎn)A的坐標(biāo)，求出對(duì)稱軸方程，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求出點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)（2，-2），然后設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性判斷在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而判斷出拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，代入直線l求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后將交點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出m的值，就可得到拋物線解析式；
（3）通過驗(yàn)證可知旋轉(zhuǎn)點(diǎn)為點(diǎn)S（-1，-1），并可求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，過正方形PMQN的頂點(diǎn)P、Q分別作x軸的平行線，過頂點(diǎn)M、N分別作y軸的平行線，構(gòu)成正方形EFGH，如圖2，易證△PHM≌△MGQ，則有PH=MG，HM=GQ．設(shè)GQ=x，則MH=x，MG=PH=x+1，根據(jù)GH=4-（-2）=6可求出x，就可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，同理可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=-2，所以A（0，-2），
拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-

-2m

2m

=1，所以B（1，0）；

（2）設(shè)點(diǎn)A（0，-2）關(guān)于對(duì)稱軸（直線x=1）的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A′，
所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（2，-2）．
設(shè)直線l的解析式為y=kx+b（k≠0），
∵直線l經(jīng)過A′（2，-2）、B（1，0），
則

2k+b=-2 k+b=0

，
解得：

k=-2 b=2

，
∴直線l的解析式為y=-2x+2；
∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，
∴拋物線在2＜x＜3這一段與在-1＜x＜0這一段關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
如圖1，

結(jié)合圖象可以觀察到：
拋物線在-2＜x＜-1這一段位于直線l的上方，
在-1＜x＜0這一段位于直線l的下方，
故拋物線與直線l的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-2×（-1）+2=4，
∴拋物線過點(diǎn)（-1，4），
當(dāng)x=-1時(shí)，m+2m-2=4，
解得：m=2，
∴拋物線的解析式為y=2x²-4x-2；

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)落在點(diǎn)S（-1，-1）時(shí)，
將P₁（-6，-1）、Q₁（0，0）繞點(diǎn)S順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，
所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P（-1，4）、Q（0，-2）．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2×（-1）²-4×（-1）-2=4；
當(dāng)x=0時(shí)，y=-2；
所以點(diǎn)P、點(diǎn)Q都在拋物線y=2x²-4x-2上．
過正方形PMQN的頂點(diǎn)P、Q分別作x軸的平行線，
過頂點(diǎn)M、N分別作y軸的平行線，構(gòu)成正方形EFGH，如圖2，

則有MP=QM，∠G=∠H=∠PMQ=90°，
∴∠HPM=90°-∠HMP=∠GMQ．
在△PHM和△MGQ中，

∠HPM=∠GMQ ∠H=∠G MP=QM

，
∴△PHM≌△MGQ（AAS），
∴PH=MG，HM=GQ．
設(shè)GQ=x，則MH=x，MG=PH=x+1，
∴GH=GM+MH=x+1+x=4-（-2）=6，
解得：x=2.5，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2.5，4-2.5）即（2.5，1.5）．
同理可得：點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-3.5，0.5）．
以PQ為對(duì)角線的正方形的另兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（2.5，1.5），（-3.5，0.5）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，有一定的難度，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性得到拋物線經(jīng)過點(diǎn)（-1，4）是解決第（2）小題的關(guān)鍵，找到旋轉(zhuǎn)點(diǎn)并構(gòu)造全等三角形是解決第（3）小題的關(guān)鍵．