Question

我們知道，二次函數(shù)的圖象是拋物線，它也可以這樣定義：若一個動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，

p

2

）的距離與它到定直線y=-

p

2

的距離相等，則動點(diǎn)M形成的圖形就叫拋物線x²=2py（p＞0）．
（1）已知動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，4）的距離與到定直線y=-4的距離相等，請寫出動點(diǎn)M形成的拋物線的解析式．
（2）若（1）中求得的拋物線與一次函數(shù)y=

3

16

x+

1

4

相交于B、C兩點(diǎn)，求△OBC的面積．
（3）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，8），在（1）中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PD最短？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）易求得P=8，即可解題；
（2）根據(jù)拋物線與直線交于B，C兩點(diǎn)即可求得點(diǎn)B，C坐標(biāo)，即可求得S_△OBC的值，即可解題；
（3）根據(jù)拋物線定義可得點(diǎn)P與點(diǎn)D橫坐標(biāo)相同時，PA+PD有最小值．

解答：解：（1）動點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，4）的距離與到定直線y=-4的距離相等，
則P=8，
∴拋物線解析式為x²=16y；
（2）拋物線與一次函數(shù)y=

3

16

x+

1

4

交于點(diǎn)B，C，
則滿足x²=16（

3

16

x+

1

4

），
解得：x=-1或4，
∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)分別為-1，縱坐標(biāo)為

1

16

，點(diǎn)C橫坐標(biāo)分別為4，縱坐標(biāo)為1，
∴點(diǎn)B（-1，

1

16

），點(diǎn)C（4，1），
設(shè)直線y=

3

16

x+

1

4

交y軸于E（0，

1

4

），
∴S_△OBC=

1

2

OE•（1+4）=

5

8

；
（3）存在，
理由：畫簡略示意圖如圖所示，

 設(shè)點(diǎn)P到直線y=-4的距離為d，
由拋物線的定義可知：PA=d，
則PA+PD=d+PD，
∴過點(diǎn)D作直線y=-4的垂線段，與拋物線的交點(diǎn)即為P點(diǎn)
將x=1代入x²=16y中，求得點(diǎn)P（1，

1

16

），
∴拋物線上存在點(diǎn)P（1，

1

16

），使得PA+PD最短．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線解析式的求解，考查了拋物線的定義，考查了拋物線與直線交點(diǎn)問題的求解，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．