Question

18．如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，
（1）求證：四邊形AECF是菱形；
（2）連接AC，若平行四邊形ABCD的面積為8，$\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$，求AC•EF的值．

Answer 1

分析 （1）利用全等三角形的判定得出△AOF≌△COE（ASA），證得EO=FO，進(jìn)而根據(jù)平行四邊形的判定證得四邊形AECF是平行四邊形，因?yàn)锳C⊥EF，即可證得四邊形AECF是菱形；
（2）根據(jù)?ABCD與菱形AECF同高，$\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$，進(jìn)而得出?ABCD與菱形AECF的面積，進(jìn)而根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線乘積的一半即可得出答案．

解答 （1）證明：∵將?ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，
∴AO=CO，∠AOF=∠COE=90°，AD=BC，F(xiàn)G=DF，
在△AOF和△COE中．
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{AO=CO}\\{∠AOF=∠COE}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴EO=FO，
∵AO=CO，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC⊥EF，
∴平行四邊形AECF是菱形，
（2）解：∵?ABCD與菱形AECF同高，$\frac{EC}{BC}=\frac{2}{3}$，
∴?ABCD與菱形AECF的面積的比為：3：2，
∵平行四邊形ABCD的面積為8，
∴菱形AECF的面積為$\frac{16}{3}$，
∵AC⊥EF，
∴菱形AECF的面積為：$\frac{1}{2}$×AC×EF=$\frac{16}{3}$，
∴AC•EF=$\frac{32}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△AOF≌△COE是解題關(guān)鍵．