Question

9．如圖，直角梯形OABC，OC邊放在x軸上，OA邊放在y軸上，OC=12，BC=8，∠C=60°，點(diǎn)P以1個(gè)單位的速度從O點(diǎn)出發(fā)沿OC運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以相同的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB-BA運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)；

（1）寫出B點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）寫出△OPQ的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在t值，使△OPQ為等腰三角形？若有，求出此時(shí)的t值；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）過B點(diǎn)作作BH⊥OC，在Rt△BHC中易求BH=4$\sqrt{3}$，CH=4，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)點(diǎn)不同時(shí)間段Q點(diǎn)的位置，分0＜t＜8和8≤t≤12，分別計(jì)算△OPQ的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分類討論，用勾股定理表示線段，列方程求解．

解答 解：（1）作BH⊥OC，垂足為H，在Rt△BHC中，
∵BC=8，∠C=60°，
∴BH=4$\sqrt{3}$，CH=4，
∵OC=12，
∴OH=8
∴B（8，4$\sqrt{3}$）；

（2）當(dāng)0＜t＜8時(shí)，作QM⊥OC，
在Rt△CQM中，
∵∠C=60°，
∴∠CQM=30°，
∴CM=$\frac{1}{2}$CQ=$\frac{t}{2}$，QM=$\frac{\sqrt{3}t}{2}$，

∴S△OPQ=$\frac{1}{2}$•OP•QM=$\frac{\sqrt{3}{t}^{2}}{4}$；
當(dāng)8≤t≤12時(shí)，S△OPQ=$\frac{1}{2}$•OP•BH=2$\sqrt{3}$t；
（3）∵Q點(diǎn)在BC邊上，
∴0＜t≤8
∴O（0，0），P（t，0），Q（12-$\frac{t}{2}$，$\frac{\sqrt{3}t}{2}$），
①若OP=OQ，則OP²=OQ²；OP²=t²，OQ²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
即：t²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
解得：t=12＞8（不合題意，舍去）
②若PO=PQ，則OP²=PQ²；OP²=t²，PQ²=（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
即：t²=（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
解得：t₁=6，t₂=12，（舍去），
③若QO=QP，則OQ²=PQ²；PQ²=（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²，OQ²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
即：（12-$\frac{t}{2}$-t）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²=（12-$\frac{t}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}t}{2}$）²
解得：t₁=0（舍去），t₂=12（舍去），
綜上所述，當(dāng)t=6時(shí)，△OPQ為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問題，分類討論，勾股定理的靈活運(yùn)用以及等腰三角形的判定和性質(zhì)；能嚴(yán)密的思考，巧妙的運(yùn)數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵．