Question

11．如圖．在矩形ABCD中．AB=6．BC=8．點(diǎn)A在直線1上，AD與直線1相交所得的銳角為60°，點(diǎn)F在直線1上．AF=8．EF⊥直線1．垂足為點(diǎn)F．且EF=6．以EF為直徑．在EF的左側(cè)作半圓O．點(diǎn)M是半圓O上任一點(diǎn)．
發(fā)現(xiàn)：AM的最小值為$\sqrt{73}$-3，AM的最大值為10，OB與直線1的位置關(guān)系是OB∥1，矩形ABCD保持不動．半圓O沿直線1向左平移．設(shè)平移距離為x．
思考：點(diǎn)E落在AD邊上時(shí)．求半圓與矩形重合部分的周長：
探究：（1）在平移動過程中．當(dāng)半圓O與矩形ABCD的邊相切時(shí)．求x的值：
（2）平移過程中．當(dāng)半圓O與矩形ABCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)．直接寫出x的取值范圍．

Answer 1

分析 發(fā)現(xiàn)：先依據(jù)勾股定理求得AO的長，然后由圓的性質(zhì)可得到OM=3，當(dāng)點(diǎn)M在AO上時(shí)，AM有最小值，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，AM有最大值，然后過點(diǎn)B作BG⊥l，垂足為G，接下來求得BG的長，從而可證明四邊形OBGF為平行四邊形，于是可得到OB與直線1的位置關(guān)系．
思考：連結(jié)OG，過點(diǎn)O作OH⊥EG，依據(jù)垂徑定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得HE的長，從而得到EG的長，接下來求得∠EOG得度數(shù)，依據(jù)弧長公式可求得弧EG的長；
探究：（1）如圖3所示，連結(jié)OH，OA．先證明AO為∠DAF的角平分線，則∠OAF=30°，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AF的長，從而可求得x的值；如圖4所示：連結(jié)OH，OA，如圖5所示：延長CB交FA與G，連結(jié)OH，OG，同理可求得x的值；（2）由（1）中相切的時(shí)x的值，并結(jié)合圖形可得到半圓O與矩形ABCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)是x的取值范圍．

解答 解：發(fā)現(xiàn)：由題意可知OM=OF=3，AF=8，EF⊥l，
∴OA=$\sqrt{A{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{73}$．
當(dāng)點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，AM有最小值，最小值為=$\sqrt{73}$-3．
當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，AM有最大值，最大值=$\sqrt{A{F}^{2}+E{F}^{2}}$=10．
如圖1所示：過點(diǎn)B作BG⊥l，垂足為G．

∵∠DAF=60°，∠BAD=90°，
∴∠BAG=30°．
∴GB=$\frac{1}{2}$AB=3．
∴OF=BG=3，
又∵GB∥OF，
∴四邊形OBGF為平行四邊形，
∴OB∥FG，即OB∥l．
故答案為：$\sqrt{73}$-3；10；平行．
思考：如圖2所示：連結(jié)OG，過點(diǎn)O作OH⊥EG．

∵∠DAF=60°，EF⊥AF，
∴∠AEF=30°．
∴∠GOE=120°．
∴GE=2EH=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×3=3$\sqrt{3}$．
弧EG的長=$\frac{120π×3}{180}$=2π．
∴半圓與矩形重合部分的周長=3$\sqrt{3}$+2π．
探究：（1）如圖3所示，連結(jié)OH，OA．

∵AD為圓O的切線，H為切點(diǎn)，
∴OH⊥AD．
又∵OF⊥AF，OH=OF，
∴AO為∠DAF的角平分線，
∴∠OAF=30°．
∴AF=$\sqrt{3}$OF=3$\sqrt{3}$．
∴x=8-3$\sqrt{3}$．
如圖4所示：連結(jié)OH，OA．

∵AH、AF均為圓O的切線，
∴OA為∠HAF的角平分線，
∴∠OAF=75°．
∴$\frac{AF}{OF}$=$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$，即AF=6-3$\sqrt{3}$．
x=8-（6-3$\sqrt{3}$）=3$\sqrt{3}$+2．
如圖5所示：延長CB交FA與G，連結(jié)OH，OG．

∵BC、FG為圓O的切線，
∴OG平分∠HGF，
∴∠OGF=30°．
∴AG=6÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，F(xiàn)G=3$\sqrt{3}$，
∴AF=$\sqrt{3}$．
∴x=8+$\sqrt{3}$．
綜上所述，當(dāng)x的值為8-3$\sqrt{3}$或3$\sqrt{3}$+2或8+$\sqrt{3}$時(shí)，半圓O與矩形ABCD的邊相切．
（2）由（1）可知當(dāng)8-3$\sqrt{3}$＜x＜3$\sqrt{3}$+2時(shí)，或8＜x＜8+$\sqrt{3}$時(shí)，半圓O與矩形ABCD的邊有兩個(gè)交點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題主要考查的是圓的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了切線的性質(zhì)和判定、特殊銳角三角函數(shù)值的應(yīng)用、切線長定理，依據(jù)題意畫出符合題意的圖形是解題的關(guān)鍵．