Question

13．如圖，直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)．點(diǎn)M為x軸上一點(diǎn)，以M為圓心，2為半徑作圓，⊙M恰好與直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$相切，切點(diǎn)為C．設(shè)⊙M與x軸、y軸分別交于D、E、G、F，H為⊙M上一點(diǎn)，連結(jié)HC交x軸于點(diǎn)I．給出下列結(jié)論：①OA=5；②∠BAO=30°；③點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，0）；④CD=2；⑤若EI：IC=3：2，則cos∠HCD=$\frac{3}{5}$．其中正確的有①②③④．

Answer 1

分析 ①正確．求出點(diǎn)A坐標(biāo)即可判斷．
②正確．求出tan∠BAO的值即可判斷．
③正確．在Rt△AMC中，根據(jù)30度角性質(zhì)求出AM，即可解決問題．
④正確．只要證明△MCD是等邊三角形即可．
⑤錯(cuò)誤．由△EIH∽△CID，得到$\frac{EH}{CD}$=$\frac{EI}{IC}$=$\frac{3}{2}$，求出EH，再根據(jù)cos∠HCD=cos∠HED=$\frac{EH}{ED}$=$\frac{3}{4}$即可判斷．

解答 解：如圖，連接CD、HD、EH．

∵直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，
令x=0，則y=-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，令y=0則x=5，
∴A（5，0），B（0，-$\frac{5\sqrt{3}}{3}$），
∴OA=5，OB=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$故①正確，
∵tan∠BAO=$\frac{OB}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAO=30°．故②正確
∵⊙M與AB相切于點(diǎn)C，
∴CM⊥AC，
∴∠ACM=90°，∵∠CAM=30°，
∴AM=2CM=4，
∴OM=OA-AM=1，
∴點(diǎn)M坐標(biāo)（1，0）故③正確，
∵∠AMC=90°-∠CAM=60°，MC=DM，
∴△MCD是等邊三角形，
∴CD=CM=2，故④正確，
∵∠HEI=∠DCI，∠EIH=∠CID，
∴△EIH∽△CID，
∴$\frac{EH}{CD}$=$\frac{EI}{IC}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{EH}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴EH=3，
∵ED是直徑，
∴∠EHD=90°，
∴cos∠HCD=cos∠HED=$\frac{EH}{ED}$=$\frac{3}{4}$，
故⑤錯(cuò)誤．
故答案為①②③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓綜合題、一次函數(shù)、相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、直角三角形30度角性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?jí)狠S題．