Question

2．已知拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)位于y軸左側(cè)，B點(diǎn)位于A點(diǎn)右側(cè)，且OA=2，與y軸相交于點(diǎn)C，OC=4，點(diǎn)P為拋物線上的任意一點(diǎn)，且在線段BC的上方．
（1）求拋物線的解析式，并畫(huà)出圖形；
（2）試求當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PBC的面積最大并求其最大值；
（3）在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上是否存在點(diǎn)Q，使得AQ=CQ？若存在，求出符合條件的Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知A（-2，0）、C（4，0）或（-4，0），設(shè)B（m，0），當(dāng)C（-4，0）時(shí)，c=-4，令y=0得到關(guān)于x的方程，依據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可求得m=-4不和題意；當(dāng)當(dāng)C（4，0）時(shí)，求得m=4則，點(diǎn)B（4，0）則拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），然后依據(jù)點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)可畫(huà)出拋物線的大致圖象；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交BC與點(diǎn)E．先求得BC的解析式，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），則E（x，-x+4），依據(jù)△CBP的面積=$\frac{1}{2}$PE•OB可得到三角形的面積與x的函數(shù)關(guān)系式，最后利用配方法求解即可；
（3）依據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸方程得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=1，設(shè)點(diǎn)Q（1，y），然后依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列方程求解即可．

解答 解：（1）∵A點(diǎn)位于y軸左側(cè)，且OA=2，
∴A（-2，0）．
∵拋物線與y軸相交于點(diǎn)C，OC=4，
∴C（4，0）或（-4，0）．
設(shè)B（m，0）．
令y=0得：-$\frac{1}{2}$x²+bx+c=0，
當(dāng)C（-4，0）時(shí)，c=-4，則-$\frac{1}{2}$x²+bx-4=0，
∴-2m=8，解得m=-4．
∵B點(diǎn)位于A點(diǎn)右側(cè)，
∴m=-4（舍去）．
當(dāng)當(dāng)C（4，0）時(shí)，c=4，則-$\frac{1}{2}$x²+bx+4=0，
∴-2m=-8，解得m=4．
∴B（4，0）．
∴拋物線的解析式為y=-$\frac{1}{2}$（x+2）（x-4），即y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4．
拋物線的大致圖象如圖所示：


（2）如圖2所示：過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸，垂足為D，PD交BC與點(diǎn)E．

設(shè)BC的解析式為y=kx+4，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入得：4k+4=0，解得k=-1，
∴BC的解析式為y=-x+4．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，-$\frac{1}{2}$x²+x+4），則E（x，-x+4）．
∴△CBP的面積=$\frac{1}{2}$PE•OB=$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+2x）=-（x-2）²+4．
∴當(dāng)x=2時(shí)，△CBP的面積有最大值，最大值為4．
把x=2代入拋物線的解析式得：y=4．
∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）．

（3）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{2a}$=1．
設(shè)點(diǎn)Q（1，y）．
∵QA=QC，
∴由兩點(diǎn)間的距離公式可知：$\sqrt{（1+2）^{2}+（y-0）^{2}}$=$\sqrt{（1-0）^{2}+（4-y）^{2}}$，兩邊同時(shí)平方得：9+y²=1+（4-y）²，整理得：8y=8，解得y=1，
∴Q（1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，配方法求二次函數(shù)的最值、兩點(diǎn)的間的距離公式，分類(lèi)討論是解答問(wèn)題（1）的關(guān)鍵，列出△CBP的面積與x的函數(shù)關(guān)系式是解答問(wèn)題（2）的關(guān)鍵，依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列出關(guān)于y的方程是解答問(wèn)題（3）的關(guān)鍵．