Question

16．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點P（a，b），若點P′的坐標(biāo)為（a+$\frac{k}$，ka+b）（其中k為常數(shù)，且k≠0），則稱點P′為點P的“k屬派生點”．例如：P（2，4）的“2屬派生點”為P′（2+$\frac{4}{2}$，2×2+4），即P′（4，8）．
（1）①點P（2，-1）的“2屬派生點”P′的坐標(biāo)為（-2，-4）；
②若點P的“k屬派生點”的坐標(biāo)為P′（-2，-2），請寫出一個符合條件的點P的坐標(biāo)（1，-3）；
（2）若點P在x軸的正半軸上，點P的“k屬派生點”為P′點，且△OPP′為等腰直角三角形，則k的值為±1；
（3）如圖，點Q的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），點A在函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的圖象上，且點A是點B的“$\sqrt{3}$屬派生點”，當(dāng)線段BQ最短時，求B點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）①只需把a=2，b=-1，k=2代入（a+$\frac{k}$，ka+b）即可求出P′的坐標(biāo)．
②由P′（-2，-2）可求出k=1，從而有a+b=-2．任取一個a就可求出對應(yīng)的b，從而得到符合條件的點P的一個坐標(biāo)．
（2）設(shè)點P坐標(biāo)為（a，0），從而有P′（a，ka），顯然PP′⊥OP，由條件可得OP=PP′，從而求出k．
（3）設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，n），從而表示出點A的坐標(biāo)（m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{3}$m+n），點A在函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的圖象上，點B的坐標(biāo)為（m，-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）；然后將BQ²用m的代數(shù)式表示，根據(jù)二次函數(shù)的最值性，求出BQ最小時對應(yīng)的m的值，從而求出對應(yīng)的點B的坐標(biāo)．

解答 解：（1）①當(dāng)a=-1，b=-2，k=2時，
a+$\frac{k}$=-1+$\frac{-2}{2}$=-2，ka+b=2×（-1）-2=-4．
∴點P（-1，-2）的“2屬派生點”P′的坐標(biāo)為（-2，-4）．
故答案為：（-2，-4）．
②由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{a+\frac{k}=-2}\\{ka+b=-2}\end{array}\right.$，
解得：k=1，
∴a+b=-2，
∴b=-2-a．
當(dāng)a=1時，b=-3，此時點P的坐標(biāo)為（1，-3）；
故答案為：（1，-3）．
（2）∵點P在x軸的正半軸上，
∴b=0，a＞0．
∴點P的坐標(biāo)為（a，0），點P′的坐標(biāo)為（a，ka）．
∴PP′⊥OP．
∵△OPP′為等腰直角三角形，
∴OP=PP′．
∴a=±ka．
∵a＞0，
∴k=±1．
故答案為：±1．
（3）設(shè)點B的坐標(biāo)為（m，n），
∵點A是點B的“$\sqrt{3}$屬派生點”，
∴點A的坐標(biāo)為（m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$，$\sqrt{3}$m+n），
∵點A在函數(shù)y=$\frac{\sqrt{3}}{x}$（x＜0）的圖象上，
∴（m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$ ）（$\sqrt{3}$m+n）=$\sqrt{3}$，且m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$＜0．
整理得：（$\sqrt{3}$m+n）²=3，
∵m+$\frac{n}{\sqrt{3}}$＜0，
∴$\sqrt{3}$m+n=-$\sqrt{3}$，
∴n=-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$，
∴點B的坐標(biāo)為（m，-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$）；
過點B作BH⊥OQ，垂足為H，如圖所示，

∵點Q的坐標(biāo)為（0，2$\sqrt{3}$），
∴QH²=（-$\sqrt{3}$m$-\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$）²=（$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）²，BH²=m²，
∴BQ²=BH²+QH²=m²+（$\sqrt{3}$m+3$\sqrt{3}$）²=4m²+18m+27=4（m+$\frac{9}{4}$）²+$\frac{27}{4}$，
∵4＞0，
∴當(dāng)m=-$\frac{9}{4}$時，BQ²最小，即BQ最�。�
此時n=-$\sqrt{3}$m-$\sqrt{3}$=$\frac{5\sqrt{3}}{4}$；
∴當(dāng)線段BQ最短時，B點坐標(biāo)為（-$\frac{9}{4}$，$\frac{5\sqrt{3}}{4}$）．

點評 本題考查了反比例圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰直角三角形、二次函數(shù)的最值、待定系數(shù)法等知識；考查了新定義下的閱讀理解能力，有一定的綜合性．第（2）題中由OP=PP′得到a與ka之間的關(guān)系是本題的易錯點，需要注意；另外，第（3）題中求出QH²是m的二次函數(shù)是關(guān)鍵，即可求出QB最短時對應(yīng)點B的坐標(biāo)．