Question

7．等邊三角形ABC中，點(diǎn)M，N分別在邊BC，AC上，BM=CN．
（1）如圖（1），求∠BQM的度數(shù)．
（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BN于點(diǎn)D，AQ=2QD嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABM≌△BCN，得∠BAM=∠CBN，由∠BQM=∠BAM+∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC=60°，即可解決問題．
（2）利用直角三角形30度角性質(zhì)即可證明．

解答 解：（1）如圖（1）中，∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ABC=∠C=60°，
在△ABM和△BCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABM=∠C}\\{MB=CN}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAM+∠QBA=∠CBN+∠QBA=∠ABC=60°．

（2）結(jié)論：AQ=2QD．
理由：如圖（2）中，在Rt△AQD中，∵∠ADQ=90°，∠AQD=∠BQM=60°，
∴∠QAD=90°-∠AQD=30°，
∴AQ=2QD．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形中30度角性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考�？碱}型．