Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且∠AFE=∠B．
（1）△ADF與△DEC相似嗎？為什么？
（2）若AB=4，AD=

27

，AE=3，求AF的長．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）首先利用已知得出∠AFD=∠C，進(jìn)而求出△ADF與△DEC相似；
（2）首先利用勾股定理得出DE的長，再利用相似三角形的性質(zhì)求出AF的長．

解答：解：（1）△ADF∽△DEC；
理由：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，
∵∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C，
∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，CD=AB=4，
又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，
在Rt△ADE中，DE=

AD2+AE2

=

(3 3 )2+32

=6，
∵△ADF∽△DEC，
∴

AD

DE

=

AF

CD

，
∴

3 3

6

=

AF

4

，
解得：AF=2

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)，得出∠AFD=∠C是解題關(guān)鍵．