Question

求一切實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程：5x²-5kx+66k-1=0的兩根均為正整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的整數(shù)根與有理根,奇數(shù)與偶數(shù),數(shù)的整除性

專題：探究型

分析：假設(shè)方程有兩個(gè)正整數(shù)根，設(shè)為x₁、x₂．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=k，x₁•x₂=13k+

k-1

5

，由x₁、x₂都是正整數(shù)可得k、13k+

k-1

5

都是正整數(shù)，進(jìn)而得到

k-1

5

是整數(shù)，設(shè)

k-1

5

=n，則有k=5n+1，n為整數(shù)，由x₁+x₂=5n+1得到正整數(shù)x₁與x₂一奇一偶，從而有x₁•x₂是偶數(shù)，與x₁•x₂=66n+13是奇數(shù)矛盾，故假設(shè)不成立，因而滿足要求的實(shí)數(shù)k不存在．

解答：解：假設(shè)方程有兩個(gè)正整數(shù)根，設(shè)為x₁、x₂．
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：x₁+x₂=-

-5k

5

=k，x₁•x₂=

66k-1

5

=13k+

k-1

5

．
∵x₁、x₂都是正整數(shù)，∴k、13k+

k-1

5

都是正整數(shù)，
∴

k-1

5

是整數(shù)．
設(shè)

k-1

5

=n，則有k=5n+1，n為整數(shù)，
∴x₁+x₂=5n+1，n為整數(shù)．
∵5n+1（n為整數(shù)）是奇數(shù)，
∴正整數(shù)x₁與x₂一奇一偶，
∴x₁•x₂是偶數(shù)，
與x₁•x₂=13（5n+1）+n=66n+13是奇數(shù)矛盾．
∴假設(shè)不成立．
∴滿足要求的實(shí)數(shù)k不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程正整數(shù)解的問題，用到了根與系數(shù)的關(guān)系、奇數(shù)與偶數(shù)、數(shù)的整除性等知識(shí)，而運(yùn)用反證法是解決本題的關(guān)鍵．