Question

18．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分線交AE于點O，以點O為圓心，OA為半徑的圓經(jīng)過點B，交BC于另一點F．
（1）求證：CD與⊙O相切；
（2）若BF=24，OE=5，求tan∠ABC的值．

Answer 1

分析 （1）過點O作OG⊥DC，垂足為G．先證明∠OAD=90°，從而得到∠OAD=∠OGD=90°，然后利用AAS可證明△ADO≌△GDO，則OA=OG=r，則DC是⊙O的切線；
（2）連接OF，依據(jù)垂徑定理可知BE=EF=12，在Rt△OEF中，依據(jù)勾股定理可知求得OF=13，然后可得到AE的長，最后在Rt△ABE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可．

解答 解：（1）過點O作OG⊥DC，垂足為G．

∵AD∥BC，AE⊥BC于E，
∴OA⊥AD．
∴∠OAD=∠OGD=90°．
在△ADO和△GDO中$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠OGD}\\{∠ADO=∠GDO}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△GDO．
∴OA=OG．
∴DC是⊙O的切線．
（2）如圖所示：連接OF．

∵OA⊥BC，
∴BE=EF=$\frac{1}{2}$BF=12．
在Rt△OEF中，OE=5，EF=12，
∴OF=$\sqrt{O{E}^{2}+E{F}^{2}}$=13．
∴AE=OA+OE=13+5=18．
∴tan∠ABC=$\frac{AE}{BE}$=$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查的是切線的判定、垂徑定理、勾股定理的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)的定義，掌握本題的輔助線的作法是解題的關(guān)鍵．