Question

9．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)E、F是對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且∠ABF=∠CDE，AE=CF
（1）求證：△ABF≌△CDE；
（2）當(dāng)四邊形ABCD的邊AB，AD滿足什么條件時(shí)，四邊形BFDE是菱形？說明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行線的性質(zhì)得出∠BAC=∠DCA．證出AF=CE．由AAS證明△ABF≌△CDE即可；
（2）先證明四邊形ABCD是菱形，得出BD⊥AC，再證明四邊形BFDE是平行四邊形，即可得出結(jié)論．

解答 （1）證明：∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠DCA．
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△ABF和△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAC=∠DCA}\\{∠ABF=∠CDE}\\{AF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CDE（AAS）；
（2）解：當(dāng)四邊形ABCD滿足AB=AD時(shí)，四邊形BEDF是菱形．理由如下：
連接BD交AC于點(diǎn)O，如圖所示：
由（1）得：△ABF≌△CDE，
∴AB=CD，BF=DE，∠AFB=∠CED，
∴BF∥DE．
∵AB∥CD，AB=CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
又∵AB=AD，
∴平行四邊形ABCD是菱形．
∴BD⊥AC．
∵BF=DE，BF∥DE，
∴四邊形BEDF是平行四邊形，
∴四邊形BEDF是菱形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．