Question

1．如圖，已知拋物線與x軸交于A（1，0）、B（-4，0）兩點，與y軸交于點C（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，點P為拋物線上一動點，且在第三象限，過點P作PE垂直x軸交于點E，是否存在這樣的點P，使得以點P，E，A為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若直線BD交拋物線于點D，且tan∠DBA=$\frac{3}{4}$，作一條平行于X軸的直線交拋物線于G、H兩點，若以GH為直徑的圓與直線BD相切，求此圓的半徑．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線為y=a（x-1）（x+4），然后將（0，-2）代入解析式中，即可求出a的值；
（2）設(shè)點P的橫坐標(biāo)為a，以點P，E，A為頂點的三角形與△AOC相似時，有兩種情況，一是$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OA}{OC}$，二是$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OC}{OA}$，分別列出關(guān)于a的方程即可求出a的值；
（3）直線BD與以GH為直徑的圓相切有兩種情況，一是該圓在直線BD的上方，二是該圓在直線BD的下方，設(shè)該圓的圓心為M，由題意知點M一定在拋物線的對稱軸上，所以點M到直線BD的距離等于$\frac{1}{2}$BC．

解答 解：（1）拋物線經(jīng)過A（1，0）和B（-4，0），
∴設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-1）（x+4），
把C（0，-2）代入y=a（x-1）（x+4），
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$（x-1）（x+4）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2；

（2）設(shè)P（a，$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a-2），其中a＜-4，
∴PE=$\frac{1}{2}$a²+$\frac{3}{2}$a-2，
AE=1-a，
若以點P，E，A為頂點的三角形與△AOC相似，
則PA與AC時對應(yīng)邊，
當(dāng)$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OA}{OC}$時，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a-2}{1-a}=\frac{1}{2}$，
∴a=-5或a=1
∵a＜-4，
∴a=-5，
此時P的坐標(biāo)為（-5，3），
當(dāng)$\frac{PE}{AE}$=$\frac{OC}{OA}$時，
∴$\frac{\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{3}{2}a-2}{1-a}=2$，
∴a=-8或a=1，
∵a＜-4，
∴a=-8，
∴P的坐標(biāo)為（-8，18），
綜上所述，點P的坐標(biāo)為P（-5，3）或（-8，18）；

（3）∵tan∠DBA=$\frac{3}{4}$，
∴cos∠DBA=$\frac{4}{5}$，
設(shè)以GH為直徑的圓的圓心為M，
過點M作MN⊥BD于點N，
拋物線的對稱軸與BD交于點E，與x軸交于點F，
∵GH∥x軸，且G、H在拋物線上，
∴由拋物線的對稱性可知：點M在拋物線的對稱軸上，
設(shè)M（$-\frac{3}{2}$，b），G（x₁，b），H（x₂，b），
把y=b代入y=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x-2，
∴x²+3x-4-2b=0，
∴x₁+x₂=-3，x₁x₂=-4-2b，
∴GH²=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=25+8b，
∵MN=$\frac{1}{2}$GH，
∴MN²=$\frac{1}{4}$GH²=$\frac{25+8b}{4}$，
∵AB=5，
∴BF=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵tan∠DBA=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{EF}{BF}$=$\frac{3}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{8}$，
∴E（$-\frac{3}{2}$，$\frac{15}{8}$），
當(dāng)M在直線BD下方時，此時b＜$\frac{15}{8}$，如圖1，
∴ME=$\frac{15}{8}$-b，
∵∠DBA+∠BEF=90°，
∠NME+∠BEF=90°，
∴∠DBA=∠NME，
∴cos∠DBA=cos∠NME=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{MN}{ME}=\frac{4}{5}$，
∴MN²=$\frac{16}{25}$ME²=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴$\frac{25+8b}{4}$=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴8b²-55b-50=0，
∴b=$\frac{55±5\sqrt{185}}{16}$，
∵b＜$\frac{15}{8}$，
∴b=$\frac{55-5\sqrt{185}}{16}$，
∴此圓的半徑為：MN=$\frac{4}{5}$（$\frac{15}{8}$-b）=$\frac{\sqrt{185}-5}{4}$，
當(dāng)M在直線BD上方時，此時b＞$\frac{15}{8}$，如圖2，
∴ME=b-$\frac{15}{8}$，
∵∠MEN+∠EMN=90°，
∠BEF+∠DBA=90°，
∠EMN=∠BEF，
∴∠EMN=∠DBA，
∴cos∠EMN=cos∠DBA=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{MN}{ME}=\frac{4}{5}$，
∴MN²=$\frac{16}{25}$ME²=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴$\frac{25+8b}{4}$=$\frac{16}{25}$（$\frac{15}{8}$-b）²，
∴8b²-55b-50=0，
∴b=$\frac{55±5\sqrt{185}}{16}$，
∵b＞$\frac{15}{8}$，
∴b=$\frac{55+5\sqrt{185}}{16}$，
∴此圓的半徑為：MN=$\frac{4}{5}$（b-$\frac{15}{8}$）=$\frac{5+\sqrt{185}}{4}$
綜上所述，此圓的半徑為：$\frac{5+\sqrt{185}}{4}$或$\frac{\sqrt{185}-5}{4}$．

點評 本題考查二次函數(shù)的綜合問題，主要考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)和判定，銳角三角函數(shù)，解本題的關(guān)鍵（3）確定出點E的坐標(biāo)．