Question

17．將兩個(gè)全等的等邊三角形△ABD和△BCD按如圖所示放置，AB=2，E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將射線BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，交DC于點(diǎn)F．
（1）判斷△BEF的性狀，并說(shuō)明理由．
（2）設(shè)△BEF的面積為S，求S的取值范圍．
（3）當(dāng)△BEF的面積最小值，在BE上是否存在點(diǎn)P，使DP+BP+AP最小？若存在，求出DP+BP+AP的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）結(jié)論：△BEF是等邊三角形．由△EBD≌△FBC，推出BE=BF，由∠EBF=60°，推出△EBF是等邊三角形；
（2））①當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，△BEF與△ADB重合，此時(shí)得到△BEF面積的最大值．②當(dāng)BE⊥AD時(shí)，得到△BEF面積的最小值，求出最大值以及最小值即可解決問(wèn)題；
（3）存在．如圖，將△ABD沿AB翻折得到△ABD′，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′．易知：PA+PD+PB=AP′+PD+PP′=P′D′+PP′+PD，屬于當(dāng)D、P、P′、D′共線時(shí)，PA+PD+PB最小，最小值為線段DD′的長(zhǎng)；

解答 解：（1）結(jié)論：△BEF是等邊三角形．
理由：∵△ABD和△BCD都是等邊三角形，
∴AB=BD=BC，∠EDB=∠C=60°，
∵∠EBF=∠DBC=60°，
∴∠EBD=∠FBC，
在△EBD和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=BC}\\{∠EBD=∠FBC}\\{∠EBD=∠FBC}\end{array}\right.$，
∴△EBD≌△FBC，
∴BE=BF，
∵∠EBF=60°，
∴△EBF是等邊三角形．

（2）①當(dāng)點(diǎn)E與A重合時(shí)，△BEF與△ADB重合，此時(shí)得到△BEF面積的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²=$\sqrt{3}$，
②當(dāng)BE⊥AD時(shí)，得到△BEF面積的最小值，因?yàn)榇藭r(shí)BE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2=$\sqrt{3}$，
所以△BEF面積的最小值為$\frac{\sqrt{3}}{4}$•（$\sqrt{3}$）²=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$≤S≤$\sqrt{3}$．

（3）存在．如圖，將△ABD沿AB翻折得到△ABD′，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′．

易知：PA+PD+PB=AP′+PD+PP′=P′D′+PP′+PD，
∴當(dāng)D、P、P′、D′共線時(shí)，PA+PD+PB最小，最小值為線段DD′的長(zhǎng)，最小值為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、等邊三角形的性質(zhì)和判定、全等三角形的判定和性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用對(duì)稱(chēng)，根據(jù)兩種之間線段最短解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．