Question

如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、DC上的兩點(diǎn)，若EF=BE+DF．
（1）求證：∠EAF=45°；
（2）作∠EFC的平分線FG交AE的延長(zhǎng)線于G，連接CG，如圖2．求證：BC-CF=

2

2

CG；
（3）若F是DC的中點(diǎn)，AB=4，如圖3，求EG的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：綜合題

分析：（1）延長(zhǎng)CB至G，使BG=FD，連接AG，如圖1，利用“SAS”證明△ABG≌△ADF，得到AG=AF，∠BAG=∠DAF，而EF=BE+DF，所以EF=EG，再根據(jù)“SSS”證明∴△AEG≌△AEF，得到∠EAG=∠EAF，則∠EAF=∠DAF+∠ABE，然后利用∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，即可得到∠EAF=45°；
（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC于H，如圖2，由（1）中∠AEB=∠AEF，根據(jù)角平分線定義得到∠EFG=∠CFG，有三角形外角性質(zhì)得∠BEF=∠EFC+∠ECF，則2∠AEB=2∠EFC+90°，所以∠AEB=∠EFC+45°，而∠AEB=∠EFC+∠EGF，所以∠EGF=45°，于是可判斷△FAG為等腰直角三角形，得到FA=FG，∠AFG=90°；接著根據(jù)等角的余角相等得到∠DAF=∠HFG，于是可根據(jù)“AAS”證明△ADF≌△FHG，得到AD=FH，DF=GH，易得DF=CH=GH，則可判斷△CGH為等腰直角三角形，得到CH=

2

2

GC，所以DC-CF=DF=

2

2

CG，即有BC-CF=

2

2

CG；
（3）作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如圖3，DF=CF=2，由（2）得CH=GH=2，則CQ=GQ=2，BQ=2，設(shè)BE=x，則EF=BE+DF=x+2，EC=4-x，在△CEF中利用勾股定理的（4-x）²+2²=（x+2）²，解得x=

4

3

，則EQ=BQ-BE=

2

3

，然后在Rt△GQE中根據(jù)勾股定理可計(jì)算出EG．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)CB至G，使BG=FD，連接AG，如圖1，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠D=90°，
在△ABG和△ADF中，

AB=AD ∠ABG=∠D BG=DF

，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG=AF，∠BAG=∠DAF，
∵EF=BE+DF，
∴EF=EG，
在△AEG和△AEF中，

AE=AE AG=AF EG=EF

，
∴△AEG≌△AEF（SSS），
∴∠EAG=∠EAF，
∵∠BAG=∠DAF，
∴∠EAF=∠DAF+∠ABE，
∵∠EAF+∠DAF+∠ABE=90°，
∴∠EAF=45°；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)G作GH⊥DC于H，如圖2，
由（1）中∠AEB=∠AEF，
∵FG平分∠EFC，
∴∠EFG=∠CFG，
∵∠BEF=∠EFC+∠ECF，
∴2∠AEB=2∠EFC+90°，即∠AEB=∠EFC+45°，
而∠AEB=∠EFG+∠EGF，
∴∠EGF=45°，
∵∠GAF=45°，
∴△FAG為等腰直角三角形，
∴FA=FG，∠AFG=90°，
∴∠AFD+∠HFG=90°，
而∠AFD+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠HFG，
在△ADF和△FHG中，

∠D=∠FHG ∠DAF=∠HFG AF=FG

，
∴△ADF≌△FHG（AAS），
∴AD=FH，DF=GH，
而AD=DC，
∴DC=FH，
∴DF=CH=GH，
∴△CGH為等腰直角三角形，
∴CH=

2

2

GC，
∴DC-CF=DF=CH=

2

2

CG，
∴BC-CF=

2

2

CG；
（3）解：作GQ⊥BC于Q，GH⊥DC于H，如圖3，
∵F是DC的中點(diǎn)，AB=4，
∴DF=CF=2，
由（2）得CH=GH=2，
∴CQ=GQ=2，
∴BQ=2，
設(shè)BE=x，則EF=BE+DF=x+2，EC=4-x，
在△CEF中，∵CE²+CF²=EF²，
∴（4-x）²+2²=（x+2）²，
解得x=

4

3

，
∴EQ=BQ-BE=2-

4

3

=

2

3

，
在Rt△GQE中，EG=

GQ2+EQ2

=

22+( 2 3 )2

=

2 10

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了四邊形的綜合題：熟練掌握正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)；會(huì)利用三角形全等解決線段和角相等的問(wèn)題；能運(yùn)用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)．