Question

20．（1）如圖1，等腰Rt△ABO放在平面直角坐標系中，點A，B 的坐標分別是A（0，1），B（1，0）．在x軸正半軸上取D（m，0），在AD右上方作等腰Rt△ADE，∠ADE=90°．
①求出E點的坐標（可用含m的代數(shù)式表示）；
②證明對于任意正數(shù)m，點E都在直線y=x-1上；
（2）將（1）中的兩個等腰直角三角形都改為有一個角為30°的直角三角形，如圖2，A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0）．Rt△ADE中，∠ADE=90°，∠AED=60°．D（m，0）是x軸正半軸上任意一點，則不論m取何正數(shù)，點E都在某一條直線上，請求出這條直線的函數(shù)關系式；
（3）將（2）中Rt△AOB保持不動，取點C（2，$\sqrt{3}$），在x軸正半軸上取D（m，0）（m＞2），然后在AD右上方作Rt△CDE，∠CDE=90°，∠CED=60°．當m取不同值時，點E是否還是總在一條直線上？若是，請求出直線對應的函數(shù)關系式，若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）①過E作EH⊥x軸于H，可證明△AOD≌△DHE，可求得DH、EH、DO，可表示出E點坐標；②把E點坐標代入滿足直線解析式，即可證得結論；
（2）過E作EH⊥x軸于H，可證明△AOD∽△DHE，利用相似三角形的性質可求得DH、EH，可得出E點坐標，則可得出過E點的直線的解析式；
（3）根據(jù)題意可將Rt△AOB右移兩個單位，得Rt△CFG，把（2）的直線向右平移兩個單位即可得到滿足條件的直線．

解答 解：（1）①過E作EH⊥x軸于H，如圖1，

在等腰Rt△ADE中，∠ADE=90°，AD=DE，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAD+∠ADO=∠EDH+∠ADO=90°，
∴∠OAD=∠EDH，
在△AOD和△DHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAD=∠EDH}\\{∠AOD=∠DHE}\\{AD=DE}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△DHE（AAS），
∴DH=AO=1，EH=DO=m，
∴E（m+1，m）；
②證明：
當x=m+1時，y=x-1=m+1-1=m，
∴不論m取何值，E都在直線y=x-1上
（2）過E作EH⊥x軸于H，如圖2，

在Rt△ADE中，∠ADE=90°，
∵∠AOB=90°，
∴∠OAD=∠EDH，∠ADO=∠DEH，
∴△AOD∽△DHE，
∴DH：AO=EH：OD=DE：AD=1：$\sqrt{3}$，
∴DH=1，EH=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$，
∴E（m+1，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}m$），$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（3）將Rt△AOB右移兩個單位，得Rt△CFG，如圖3，

根據(jù)（2）的解答，把（2）中的直線右移兩個單位即可．
所以所求直線解析式為$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x-\sqrt{3}$，
即當m取不同值時，點E總在一條直線上．

點評 本題主要考查一次函數(shù)的綜合應用，涉及知識點有全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、求函數(shù)解析式等．在（1）中作出垂直求得線段的長是解題的關鍵，在（2）中證明三角形相似求得線段的長是解題的關鍵，在（3）中利用好（2）的結論是解題的關鍵．本題知識點較多，難度較大，綜合性較強．