Question

一副三角板如圖①放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°斜邊AB=4，CD=5．把三角板DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D′CE′（如圖②），此時AB與CD′交于點O，則cos∠OAD′=

 

．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：由∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，把三角板DCE繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)15°得到△D′CE′，易求得∠ACD′的度數(shù)，又由三角形外角的性質(zhì)，求得∠AOD′的度數(shù)，然后由等腰三角形的性質(zhì)，求得OA=OB=OC=2，繼而求得OD′=3，然后由勾股定理求得AD′的長，繼而求得答案．

解答：解：如圖②，根據(jù)題意得：∠BCE′=15°，
∵∠D′CE′=60°，
∴∠D′EB=45°，
∴∠ACD′=90°-45°=45°，
∴∠AOD′=∠CAB+∠ACD′=90°，
∵AC=BC，AB=4，
∴OA=OB=2，
∵∠ACB=90°，
∴CO=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
又∵CD′=5，
∴OD′=CD′-OC=5-2=3，
∴AD′=

OA2+OD′2

=

13

，
∴cos∠OAD′=

OA

AD′

=

2 13

13

．
故答案為：

2 13

13

．

點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．