Question

14．定義：如果兩條線段將一個(gè)三角形分成3個(gè)等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個(gè)三角形的三分線．
（1）請(qǐng)你在圖1中用兩種不同的方法畫出頂角為45°的等腰三角形的三分線，并標(biāo)注每個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù)；（若兩種方法分得的三角形成3對(duì)全等三角形，則視為同一種）
（2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分線，點(diǎn)D在BC邊上，點(diǎn)E在AC邊上，且AD=BD，DE=CE，設(shè)∠C=x°，試畫出示意圖，并直接寫出x所有可能的值；
（3）如圖2，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，請(qǐng)畫出△ABC的三分線，并求出三分線的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）45°自然想到等腰直角三角形，過底角一頂點(diǎn)作對(duì)邊的高，發(fā)現(xiàn)形成一個(gè)等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜邊的中線可形成兩個(gè)等腰三角形；第二種情形以一底角作為新等腰三角形的底角，則另一底角被分為45°和22.5°，再以22.5°分別作為等腰三角形的底角或頂角，易得其中作為底角時(shí)所得的三個(gè)三角形恰都為等腰三角形；
（2）用量角器，直尺標(biāo)準(zhǔn)作30°角，而后確定一邊為BA，一邊為BC，根據(jù)題意可以先固定BA的長(zhǎng)，而后可確定D點(diǎn)，再分別考慮AD為等腰三角形的腰或者底邊，兼顧A、E、C在同一直線上，易得2種三角形ABC，根據(jù)圖形易得x的值；
（3）因?yàn)椤螩=2∠B，作∠C的角平分線，則可得第一個(gè)等腰三角形．而后借用圓規(guī)，以邊長(zhǎng)畫弧，根據(jù)交點(diǎn)，尋找是否存在三分線，易得如圖4圖形為三分線．則可根據(jù)外角等于內(nèi)角之和及腰相等等情況列出等量關(guān)系，解方程可知三分線的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖所示：


（2）如圖所示：

①當(dāng)AD=AE時(shí)，
∵2x+x=30°+30°，
∴x=20°；
②當(dāng)AD=DE時(shí)，
∵30°+30°+2x+x=180°，
∴x=40°；

（3）如圖所示，CD、AE就是所求的三分線．

設(shè)∠B=α，則∠DCB=∠DCA=∠EAC=α，∠ADE=∠AED=2α，
此時(shí)△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，
設(shè)AE=AD=x，BD=CD=y，
∵△AEC∽△BDC，
∴x：y=2：3，①
∵△ACD∽△ABC，
∴2：x=（x+y）：2，②
由①和②解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}\sqrt{10}}\\{y=\frac{3}{5}\sqrt{10}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{2}{5}\sqrt{10}}\\{y=-\frac{3}{5}\sqrt{10}}\end{array}\right.$（舍去），
∴AE=$\frac{2}{5}\sqrt{10}$，CD=$\frac{3}{5}\sqrt{10}$，
即三分線的長(zhǎng)分別為$\frac{2}{5}\sqrt{10}$和$\frac{3}{5}\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是相似形的綜合題，主要考查了三角形內(nèi)角、外角間的關(guān)系及等腰三角形知識(shí)，掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)成比例的線段聯(lián)立方程解決問題．