Question

2．問題1：在圖1中，已知線段AB，CD，它們的中點分別為E，F(xiàn)．
①若A（-2，0），B（4，0），則E點坐標(biāo)為（1，0）；
②若C（-1，3），D（-1，-2），則F點坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$）；
問題2：在圖2中，無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個位置，當(dāng)其端點坐標(biāo)為A（a，b），B（c，d），AB中點為D（x，y）時，請直接寫出D點的坐標(biāo)（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$）；（用含a、b、c、d的式子表示）．
問題3：如圖3，一次函數(shù)y=x-4與反比例函數(shù)y=$\frac{5}{x}$的圖象交于A、B兩點，若以A、O、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出頂點P的坐標(biāo)（4，-4）或（6，6）或（-6，-6）．

Answer 1

分析 問題1：中①②正確作出兩線段的中點，即可寫出中點的坐標(biāo)；
問題2：過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A'，D'，B'，則AA'∥BB'∥DD'，根據(jù)梯形中位線定理即可得到D點坐標(biāo)；
問題3：根據(jù)A，B兩點坐標(biāo)，根據(jù)上面的結(jié)論可以求得AB的中點的坐標(biāo)，此點也是OP的中點，根據(jù)前邊的結(jié)論即可求解．

解答 解：
問題1：
①∵A（-2，0），B（4，0），
∴線段AB的中點坐標(biāo)為（$\frac{-2+4}{2}$，0），即（1，0），
∴E點坐標(biāo)為（1，0）；
②∵C（-1，3），D（-1，-2），
∴線段CD的中點坐標(biāo)為（$\frac{-1+（-1）}{2}$，$\frac{3+（-2）}{2}$），即（-1，$\frac{1}{2}$），
∴F點坐標(biāo)為（-1，$\frac{1}{2}$）；
問題2：
如圖，過點A，D，B三點分別作x軸的垂線，垂足分別為A′，D′，B′，則AA′∥BB′∥CC′，

∵D為AB中點，由平行線分線段成比例定理得，A′D′=D′B′，
∴OD′=a+$\frac{c-a}{2}$=$\frac{a+c}{2}$，
即D點的橫坐標(biāo)是$\frac{a+c}{2}$，
同理可得D點的縱坐標(biāo)是$\frac{b+d}{2}$，
∴AB中點D的坐標(biāo)為（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$）；
問題3：
由題意得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-4}\\{y=\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴即交點的坐標(biāo)為A（-1，-5），B（5，1），
以AB為對角線時，由上面的結(jié)論知AB中點M的坐標(biāo)為（2，-2），
∵平行四邊形對角線互相平分，
∴OM=OP，即M為OP的中點，
∴P點坐標(biāo)為（4，-4），
同理可得分別以O(shè)A，OB為對角線時，點P坐標(biāo)分別為（6，6），（-6，-6），
∴滿足條件的點P有三個，坐標(biāo)分別是（4，-4），（6，6），（-6，-6）．
故答案為：（1，0）；（-1，$\frac{1}{2}$）；（$\frac{a+c}{2}$，$\frac{b+d}{2}$）；（4，-4）或（6，6）或（-6，-6）．

點評 本題主要考查反比例函數(shù)的綜合，涉及中點坐標(biāo)公式、梯形中位線定理、函數(shù)圖象交點和平行四邊形的性質(zhì)等知識點．在問題1中注意確定出兩線段的中點的位置，在問題2中把A、B、D轉(zhuǎn)化到x軸上，利用梯形的中位線定理是解題的關(guān)鍵，在問題3中注意利用前面的結(jié)論．本題所考查知識比較基礎(chǔ)，注重了知識的探究和運(yùn)用，難度不大．