Question

2．如圖，直線y=3x和雙曲線y=$\frac{3}{x}$（x＞0）交于點(diǎn)A，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，且∠POA=∠1+∠2，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 過(guò)點(diǎn)A作x平行線交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，交EA于點(diǎn)B，連接AP．將一次函數(shù)解析式代入到反比例函數(shù)解析式中解方程得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)∠POA=∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2=90°，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用分解圖形法求出△AOP的面積，再結(jié)合三角形的面積公式以及∠AOP=45°，即可求出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，將其代入到點(diǎn)P的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論．

解答 解：過(guò)點(diǎn)A作x平行線交y軸于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交x軸于點(diǎn)F，交EA于點(diǎn)B，連接AP．如圖所示．

將一次函數(shù)解析式y(tǒng)=3x代入到反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=$\frac{3}{x}$（x＞0）中，
3x=$\frac{3}{x}$，即3x²=3，
解得：x=1，或x=-1（舍去）．
當(dāng)x=1時(shí)，y=$\frac{3}{1}$=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，3）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（n，$\frac{3}{n}$）（n＞0），
則OF=n，OE=3，BP=3-$\frac{3}{n}$，AB=n-1，OA=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OP=$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{3}{n}）^{2}}$．
∵∠POA=∠1+∠2，且∠POA+∠1+∠2=90°，
∴∠POA=45°．
S_POA=S_矩形OFBE-S_△OAE-S_△OPF-S_△ABP=3n-$\frac{3}{2}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$（3-$\frac{3}{n}$）（n-1）=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{1}{n}$）（n-1）=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{n}$）．
又∵S_POA=$\frac{1}{2}$OA•OP•sin∠POA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$$\sqrt{{n}^{2}+（\frac{3}{n}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$（n-$\frac{1}{n}$），
即4n⁴-18n²-36=0，
解得：n²=6，或n²=-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∵n＞0，
∴n=$\sqrt{6}$，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\sqrt{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、三角形的面積公式、角的計(jì)算以及解一元高次方程，解題的關(guān)鍵是通過(guò)兩種方法求面積找出關(guān)于點(diǎn)P橫坐標(biāo)的一元四次方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，利用切割法以及直接求面積法分別表示出三角形的面積，根據(jù)面積相等得出關(guān)于點(diǎn)的橫坐標(biāo)的一元高次方程是關(guān)鍵．