Question

13．如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于點(diǎn)F，交AC的平行線BG于點(diǎn)G，DE⊥GF交AB于點(diǎn)E，連接EG．
（1）求證：BG=CF；
（2）若∠BAC=90°，請你判斷BE，CF與EF三條線段的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

分析 （1）由BG∥AC得出∠DBG=∠DCF，從而根據(jù)ASA證得△BGD≌△CFD，即可證得結(jié)論．
（2）根據(jù)△BGD≌△CFD得出GD=FD，BG=CF，然后根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)求得EG=EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠EBG=90°，最后根據(jù)勾股定理即可求得BE²+BG²=EG²，通過等量代換即可得到BE、CF、EF之間存在的等量關(guān)系．

解答 解：（1）∵BG∥AC，
∴∠DBG=∠DCF，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴BD=CD，
在△BGD和△CFD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBG=∠DCF}\\{BD=CD}\\{∠BDG=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△BGD≌△CFD（ASA），
∴BG=CF．

（2）BE²+CF²=EF²；
理由：∵△BGD≌△CFD，
∴GD=FD，BG=CF，
又∵DE⊥FG，
∴EG=EF（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等），
∵∠A=90°，AC∥BG，
∴∠EBG=90°，
∴在△EBG中，BE²+BG²=EG²，
即BE²+CF²=EF²．

點(diǎn)評 本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．