Question

8．我們來定義下面兩種數(shù)：
①平方和數(shù)：若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左、中、右三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=（左邊數(shù)）²+（右邊數(shù)）²，我們就稱該整數(shù)為平方和數(shù)；例如：對于整數(shù)251．它中間的數(shù)字是5，左邊數(shù)是2，右邊數(shù)是1．∵2²+1²=5，∴251是一個平方和數(shù)．又例如：對于整數(shù)3254，它的中間數(shù)是25，左邊數(shù)是3，右邊數(shù)是4，∵3²+4²=25∴2，34是一個平方和數(shù)．當然152和4253這兩個數(shù)也是平方和數(shù)；
②雙倍積數(shù)：若一個三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分拆成左、中、右三個數(shù)后滿足：中間數(shù)=2×左邊數(shù)×右邊數(shù)，我們就稱該整數(shù)為雙倍積數(shù)；例如：對于整數(shù)163，它的中間數(shù)是6，左邊數(shù)是1，右邊數(shù)是3，∵2×1×3=6，∴163是一個雙倍積數(shù)，又例如：對于整數(shù)3305，它的中間數(shù)是30，左邊數(shù)是3，右邊數(shù)是5，∵2×35=30，∴3305是一個雙倍積數(shù)，當然361和5303這兩個數(shù)也是雙倍積數(shù)；
注意：在下面的問題中，我們統(tǒng)一用字母a表示一個整數(shù)分出來的左邊數(shù)，用字母b表示一個整數(shù)分出來的右邊數(shù)，請根據(jù)上述定義完成下面問題：
（1）如果一個三位整數(shù)為平方和數(shù)，且十位數(shù)為9，則該三位數(shù)為390；如果一個三位整數(shù)為雙倍積數(shù)，且十位數(shù)字為4，則該三位數(shù)為241或142；
（2）如果一個整數(shù)既為平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)．則a，b應該滿足什么數(shù)量關(guān)系；說明理由；
（3）$\overline{a625b}$為一個平方和數(shù)，$\overline{a600b}$為一個雙倍積數(shù)，求a²-b²．

Answer 1

分析 （1）平方和數(shù)以及雙倍積數(shù)的定義計算即可．
（2）平方和數(shù)以及雙倍積數(shù)的定義，列出a、b的關(guān)系式，可得a=b．
（3）列方程組即可解決問題．

解答 解：（1）∵三位整數(shù)為平方和數(shù)，9=3²+0²，
∴左邊數(shù)為3，右邊數(shù)為0，
∴該三位數(shù)為390．
∵三位整數(shù)為雙倍積數(shù)，且十位數(shù)字為4，
4=2×2×1，
∴該三位數(shù)為241或142．
故答案為390，241或142．

（2）如果一個整數(shù)既為平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)．則a，b應該滿足a²+b²=2ab，即（a-b）²=0，
∴a=b．

（3）由題意$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+^{2}=625}\\{2ab=600}\end{array}\right.$，
易知（a-b）²=25，（a+b）²=1225，
∵a＞0，b＞0，
∴a-b=±5，a+b=35，
∴a²-b²=±175．

點評 本題考查因式分解的應用、平方和數(shù)以及雙倍積數(shù)的定義、二元二次次方程組等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用方程的思想思考問題，屬于中考�？碱}型．