Question

4．已知，點D是△ABC內(nèi)一點，滿足AD=AC
（1）已知∠CAD=2∠BAD，∠ABD=30°，如圖1，若∠BAC=60°，∠ACB=80°，請判斷BD和CD的數(shù)量關(guān)系（直接寫出答案）
（2）如圖2，若∠ACB=2∠ABC，BD=CD，試證明∠CAD=2∠BAD．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC=40°，進一步求得∠BAD=20°，∠ADC=∠ACD=70°，從而求得∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-30°=10°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=80°-70°=10°，得出∠DBC=∠DCB，證得DB=DC；
（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，連接ED、EA，則四邊形AEBC是等腰梯形，通過證得△EBD≌△ACD得出ED=AD，進一步證得三角形AED是等邊三角形，可得∠EAD=60°，然后根據(jù)∠BAD=60°-∠EAB=60°-∠ABC，利用等量代換即可證得結(jié)論．

解答 解：（1）BD和CD的數(shù)量關(guān)系是BD=CD；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=80°，
∴∠ABC=40°，
∵∠CAD=2∠BAD，
∴∠CAD=40°，∠BAD=20°，
又∵AD=AC，
∴∠ADC=∠ACD=70°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=40°-30°=10°，∠DCB=∠ACB-∠ACD=80°-70°=10°，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC；
（2）作∠EBC=∠ACB，使EB=AC，連接ED、EA，則四邊形AEBC是等腰梯形，
∴AE∥BC，
∴∠EAB=∠ABC，
∵BD=CD，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EBD=∠ACD，
在△EBD和△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{BE=AC}\\{∠EBD=∠ACD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴ED=AD，
∵∠ACB=2∠ABC，∠EBC=∠ACB，
∴∠EBC=2∠ABC，
∴∠ABE=∠ABC，
∴∠EAB=∠ABE，
∴BE=AE，
∵AD=AC=EB，
∴EA=ED=AD，
∴△AED是等邊三角形，
∴∠EAD=60°，
∴∠BAD=60°-∠EAB=60°-∠ABC，
∴2∠BAD=120°-2∠ABC=120°-∠ACB，
∵AE∥BC，
∴∠ACB+∠EAC=180°，
∴∠ACB=180°-∠EAC，
∵∠EAC=60°+∠DAC，
∴2∠BAD=120°-（180°-60°-∠DAC）=∠DAC，
∴∠DAC=2∠BAD．

點評 題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)建等腰梯形，通過證明三角形全等得出線段相等，是解答本題的基本思路．