Question

5．如圖，在四邊形ABCD中，連接AC，恰有∠ACD=∠ADC，點F在AB上，連接DF，交AC于點G，在DG上取一點E，連接AE，使得△AED≌△ABC，若∠CAD=90°，∠BCA=20°．
（1）試判斷∠BAE與∠ACD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（2）求∠CDG+∠CGF的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）∠BAE=2∠ACD，理由：根據(jù)∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC，先求出∠ACD、∠ADC的度數(shù)，根據(jù)△AED≌△ABC，得到∠BAC=∠EAD，求出∠BAE的度數(shù)，即可得到∠BAE=2∠ACD．
（2）先求出∠EDA=20°，再求出∠CDG的度數(shù)，∠FGC的度數(shù)，所以∠CDG+∠CGF=25°+70°=95°．

解答 解：（1）∠BAE=2∠ACD，
∵∠CAD=90°，∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠ADC=45°，
∵△AED≌△ABC，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAC+∠CAE=∠EAD+∠CAE，
即∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE=2∠ACD．
（2）∵△AED≌△ABC，∠BCA=20°．
∴∠BCA=∠EDA=20°，
∵∠ADC=45°，
∴∠CDG=∠ADC-∠EDA=45°-20°=25°，
∵∠CAD=90°，∠EDA=20°，
∴∠AGD=70°，
∴∠FGC=∠AGD=70°，
∴∠CDG+∠CGF=25°+70°=95°．

點評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到相等的角．