Question

8．如圖，點(diǎn)A，B，C在一條直線上，△ABD，△BCE均為等邊三角形，連接AE和CD，AE分別交CD，BD于點(diǎn)M，P，CD交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，BM，下面結(jié)論：
①△ABE≌△DBC；②∠DMA=70°；③△BPQ為等邊三角形；④MB平分∠AMC，
其中結(jié)論正確的有①③④（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①正確．由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，得出∠ABE=∠DBC，由SAS即可證出△ABE≌△DBC；
②錯(cuò)誤．由△ABE≌△DBC，得出∠BAE=∠BDC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠DMA=60°；
③正確．由ASA證明△ABP≌△DBQ，得出對(duì)應(yīng)邊相等BP=BQ，即可得出△BPQ為等邊三角形；
④正確．證明P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，由圓周角定理得出∠BMP=∠BMQ，即MB平分∠AMC．

解答 解：∵△ABD、△BCE為等邊三角形，
∴AB=DB，∠ABD=∠CBE=60°，BE=BC，
∴∠ABE=∠DBC，∠PBQ=60°，
在△ABE和△DBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DB}\\{∠ABE=∠DBC}\\{BE=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正確；
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE=∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°，
∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°，②錯(cuò)誤；
在△ABP和△DBQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠BDQ}\\{AB=DB}\\{∠ABP=∠DBQ=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DBQ（ASA），
∴BP=BQ，
∴△BPQ為等邊三角形，故③正確；
∵∠DMA=60°，
∴∠AMC=120°，
∴∠AMC+∠PBQ=180°，
∴P、B、Q、M四點(diǎn)共圓，
∵BP=BQ，
∴$\widehat{BP}$=$\widehat{BQ}$
∴∠BMP=∠BMQ，
即MB平分∠AMC，故④正確；
綜上所述：正確的結(jié)論有①③④；
故答案為①③④．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、四點(diǎn)共圓、圓周角定理；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．