Question

如圖，已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D、E、F分別在AB、AC、BC邊上，∠EDF=45°．
（1）求證：△ADE∽△BFD；
（2）若D為AB中點(diǎn)，求證：∠AED=∠DEF．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，可得∠A=∠B=45°，又由∠EDF=45°，易證得∠AED=∠BDF，即可得△ADE∽△BFD；
（2）由△ADE∽△BFD，可得DE：DF=AE：BD，又由D為AB中點(diǎn)，易證得△DEF∽△AED，即可證得∠AED=∠DEF

解答：證明：（1）∵Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠AED+∠ADE=135°，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠BDF=135°，
∴∠AED=∠BDF，
∴△ADE∽△BFD；

（2）∵△ADE∽△BFD，
∴DE：DF=AE：BD，
∵D為AB中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴DE：DF=AE：AD，
即DE：AE=DF：AD，
∵∠A=∠EDF=45°，
∴△DEF∽△AED，
∴∠AED=∠DEF．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．