Question

如圖①，已知點(diǎn)O是∠EPF的平分線上的一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心的圓與角兩邊分別交于A，B和C，D四點(diǎn)．

（1）求證：AB=CD；
（2）若角的頂點(diǎn)P在圓上，如圖②，其他條件不變，結(jié)論成立嗎？
（3）若角的頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，如圖③，其他條件不變，結(jié)論成立嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,角平分線的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：（1）過O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接OA、OC，根據(jù)角平分線性質(zhì)得出ON=OM，根據(jù)勾股定理求出AM=CN，根據(jù)垂徑定理得出AB=2AM，CD=2CN，即可得出答案；
（2）

解答：解：（1）相等．
如圖：
作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，連接OA，OC，OB，OD．
AG=BG，CH=DH，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH．
在Rt△OBG和Rt△ODH中，
由HL定理得：△OBG≌△ODH，
∴GB=HD，
∴AB=CD；
（2）點(diǎn)P在圓上，結(jié)論成立：
頂點(diǎn)P在圓上，此時(shí)點(diǎn)P，A，C重合于點(diǎn)A，作OG⊥AB于G，OH⊥AD于H，
∴AG=GB，AH=HD，
∵∠EAO=∠DAO，
∴OG=OH．
在Rt△OAG和Rt△OAH中，由HL定理得：△OAG≌△OAH，
∴AG=AH，
∴AB=AD．
即點(diǎn)P在圓上，結(jié)論成立．
（3），頂點(diǎn)P在圓內(nèi)，作OG⊥AB于G，OH⊥CD于H，則AG=GB，CH=HD，
∵∠EPO=∠FPO，
∴OG=OH，
∴GB=HD，
∴AB=CD．
即點(diǎn)P在圓內(nèi)，結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是垂徑定理，先根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，得到兩條弦心距相等，然后再說明兩條弦相等．