Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，B、C均在y軸上，且B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4

3

），AD=2BD，若反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象剛好過(guò)A、D兩點(diǎn)，則k的值為（　　）

• A、-3
• B、-3

  3

• C、-2

  3

• D、-4

  3

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（c，d），在Rt△AED中運(yùn)用三角函數(shù)的定義可以得到a、b、c、d一個(gè)等量關(guān)系，易證△BFD∽△BCA，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)可得a=3c，由點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上可得k=ab=cd，從而得到d=3b，進(jìn)而可得b=-

3

3

a，在Rt△ACB中，運(yùn)用三角函數(shù)的定義可得BC=-

3

a，由B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4

3

）可得OB=4

3

，由此可求出a的值，從而求出b的值，進(jìn)而求出k的值，問(wèn)題得以解決．

解答：解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，如圖．
設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（c，d），
則有AC=-a，OC=b，DF=-c，OF=d，
∴AE=AC-CE=AC-DF=-a-（-c）=-a+c，DE=FC=OF-OC=d-b．
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．
∴在Rt△AED中，DE=AE•tan∠DAE=

3

AE，
則d-b=

3

（-a+c）．
∵DE⊥AC，∠ACB=90°，
∴∠BFD=∠ACB=90°，
∵∠DBF=∠ABC，
∴△BFD∽△BCA，
∴

DF

AC

=

BD

AB

．
∵AD=2BD，∴

DF

AC

=

BD

AB

=

1

3

，
∴AC=3DF，
∴-a=-3c，即c=

1

3

a．
∵點(diǎn)A、D在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴k=ab=cd，∴d=3b．
∵d-b=

3

（-a+c），
∴2b=

3

（-a+

1

3

a）=-

2 3

3

a，
∴b=-

3

3

a．
在Rt△ACB中，
∵∠BAC=60°，∴BC=AC•tan∠BAC=-

3

a．
∵B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4

3

），∴OB=4

3

，
∴OB=BC+OC=-

3

a+b=-

3

a+（-

3

3

a）=-

4 3

3

a=4

3

，
∴a=-3．
∴b=-

3

3

a=

3

，
∴k=ab=-3×

3

=-3

3

．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），根據(jù)條件得到b與a的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．