Question

19．如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點(diǎn)P是BC中點(diǎn)，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點(diǎn)E、F，給出以下四個(gè)結(jié)論：
①AE=CF；  
②△EPF是等腰直角三角形；
③S_{四邊形AEPF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC；  
④BE+CF=EF．
⑤當(dāng)∠EPF在△ABC內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合）．
上述結(jié)論中始終正確的有①②③（填序號(hào)）．

Answer 1

分析 根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定定理得出△APE≌△CPF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對(duì)題中的結(jié)論逐一判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點(diǎn)，
∴AP=CP，
在△APE與△CPF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠APE=∠CPF}&{\;}\\{AP=CP}&{\;}\\{∠EPA=∠FPC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，∴S_△APE=S_△CPF，
∵∠EPF=90°，
∴△EPF是等腰直角三角形，
S_{四邊形AEPF}=S_△APC=$\frac{1}{2}$S_△ABC，①②③正確；
∵BE+CF=BE+AE=AB，只有當(dāng)E與A、B重合時(shí)，BE+CF=EF．
∴④不正確；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出△APE≌△CPF是解答此題的關(guān)鍵．