Question

7．如圖，在△ABC和△ADE中，∠CAB=∠DAE=90°，AB=AC=4，AD=AE=2，直線，CE交BD于點(diǎn)P，將△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜180°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，S_△PAB的最大值為2+2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠BAC=∠DAE=90°，求得∠BAD=∠CAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠ABD=∠ACE，推出A，B，C，P是以BC為直徑的圓的點(diǎn)，當(dāng)直線BP與⊙A（D的運(yùn)動(dòng)路徑）相切時(shí)，直線在⊙O中截得的弦最長(zhǎng)并且點(diǎn)A到直線BP的距離最大，由D在⊙A上，得到直線BD與⊙A只能相交或相切，于是得到A到BD的距離最大為⊙A的直徑AD′=2，根據(jù)勾股定理得到BD′=$\sqrt{A{B}^{2}-AD{′}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

解答 解：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD與△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{∠BAD=∠CAE}\\{AD=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴A，B，C，P是以BC為直徑的圓的點(diǎn)，
當(dāng)直線BP與⊙A（D的運(yùn)動(dòng)路徑）相切時(shí)，直線在⊙O中截得的弦最長(zhǎng)并且點(diǎn)A到直線BP的距離最大，
∵D在⊙A上，
∴直線BD與⊙A只能相交或相切，
∴A到BD的距離最大為⊙A的直徑AD′=2，
∵∠AP′B=∠ACB=45°，
∴D′P′=AD′=2，
∴BD′=$\sqrt{A{B}^{2}-AD{′}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$BP′•AD′=$\frac{1}{2}$×（2+2$\sqrt{3}$）×2=2+2$\sqrt{3}$．
故答案為：2+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，最值問(wèn)題，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．