Question

19．如圖，正方形ABCD中，點E在AB上，且BE=$\frac{1}{4}$AB，點F是BC的中點，點G是DE的中點，延長DF，與AB的延長線交于點H．以下四個結論：
①FG=$\frac{1}{2}$EH；②△DFE是直角三角形；③FG=$\frac{1}{2}$DE；④DE=EB+BC．
其中正確結論的個數(shù)是（　�。�

• A． 1個
• B． 2個
• C． 3個
• D． 4個

Answer 1

分析 設正方形邊長為4a，求出DE、EF、DF，利用勾股定理等逆定理可以判定②正確；根據(jù)三角形中位線定理可以判定①正確；根據(jù)直角三角形斜邊中線定理可以判斷③正確；通過計算可以判斷④正確．

解答 解：設正方形邊長為4a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=4a，∠A=∠ABC=∠C=90°，
∵AE=3a，EB=a，CF=FB=2a，
∴DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{（4a）^{2}+（3a）^{2}}$=5a，EF=$\sqrt{E{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，DF=$\sqrt{C{D}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∵DF²+FE²=25a²，DE²=25a²，
∴DF²+EF²=ED²，
∴∠DFE=90°，故②正確，
∵DG=GE，DF=FH，
∴GF=$\frac{1}{2}$EH，故①正確，
在RT△DFE中，∵DG=GE，∴FG=$\frac{1}{2}$DE，故③正確，
∵DE=4a，EB+BC=a+4a=5a，
∴DE=EB+BC，故④正確．
故選D．

點評 本題考查正方形的性質、勾股定理逆定理、三角形中位線定理．直角三角形斜邊中線定理等知識，解題的關鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．