Question

閱讀材料：如圖1，過△ABC的三個頂點分別作出與水平線垂直的三條直線，外側(cè)兩條直線之間的距離叫△ABC的“水平寬”（a），中間的這條直線在△ABC內(nèi)部線段的長度叫△ABC的“鉛垂高（h）”．我們可得出一種計算三角形面積的新方法：S_△ABC=

1

2

ah，即三角形面積等于水平寬與鉛垂高乘積的一半．解答下列問題：如圖2，拋物線頂點坐標(biāo)為點C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點B．
（1）求拋物線和直線AB的解析式；
（2）求△CAB的鉛垂高CD及S_△CAB；
（3）拋物線上是否存在一點P，使S_△PAB=

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S_△CAB？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知了頂點C坐標(biāo)，可用頂點式的二次函數(shù)通式設(shè)出這個二次函數(shù)，然后根據(jù)A點的坐標(biāo)可求出二次函數(shù)的解析式．然后根據(jù)求出的二次函數(shù)的解析式，求出B點的坐標(biāo)，然后可用待定系數(shù)法用B、A的坐標(biāo)求出AB所在直線的解析式；
（2）要求三角形CAB的面積，根據(jù)題中給出的求三角形面積的求法，那么要先求出水平寬和鉛垂高，求鉛垂高就要求出C，D兩點縱坐標(biāo)，C點的坐標(biāo)已知，可用（1）中的一次函數(shù)求出D點的縱坐標(biāo)，那么C，D兩點的縱坐標(biāo)的差的絕對值就是三角形CAB的鉛垂高，而水平寬是A點的橫坐標(biāo)，這樣可根據(jù)題中給出的求三角形的面積的方法得出三角形CAB的面積；
（3）可先根據(jù)（2）中三角形CAB的面積得出三角形PAB的面積，三角形PAB中，水平寬是A的橫坐標(biāo)為定值，因此根據(jù)三角形PAB的面積可得出此時的鉛垂高，然后用拋物線的解析式以及一次函數(shù)的解析式，先表示出鉛垂高，然后根據(jù)由三角形PAB的面積求出的鉛垂高可得出關(guān)于x的方程，即可得出x的值，然后代入二次函數(shù)式中即可得出此點的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y₁=a（x-1）²+4
把A（3，0）代入解析式求得a=-1
所以y₁=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
設(shè)直線AB的解析式為：y₂=kx+b
由y₁=-x²+2x+3求得B點的坐標(biāo)為（0，3）
把A（3，0），B（0，3）代入y₂=kx+b中
解得：k=-1，b=3
所以y₂=-x+3；

（2）因為C點坐標(biāo)為（1，4）
所以當(dāng)x=1時，y₁=4，y₂=2
所以CD=4-2=2
S_△CAB=

1

2

×3×2=3（平方單位）；

（3）假設(shè)存在符合條件的點P，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為x，△PAB的鉛垂高為h，
則h=y₁-y₂=（-x²+2x+3）-（-x+3）=-x²+3x
由S_△PAB=

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8

S_△CAB
得：

1

2

×3×（-x²+3x）=

9

8

×3
化簡得：4x²-12x+9=0
解得，x₁=x₂=

3

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，
將x=

3

2

代入y₁=-x²+2x+3中，
解得P點坐標(biāo)為（

3

2

，

15

4

）．

點評：本題結(jié)合三角形面積的求法考查了二次函數(shù)以及一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，讀懂題意，弄清水平寬和鉛垂高的意義是解題的關(guān)鍵．