Question

16．如圖，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，過E做EF⊥AD于F，連接BF交AE于P，連接PD．
（1）求證：四邊形ABEF是正方形；
（2）如果AB=4，AD=7，求tan∠ADP的值．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性質(zhì)得出∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，證出四邊形ABEF是矩形，再證明AB=BE，即可得出四邊形ABEF是正方形；
（2）由正方形的性質(zhì)得出BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，得出AB∥PH，求出DH=AD-AH=5，在Rt△PHD中，由三角函數(shù)即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCDABCD是矩形，
∴∠FAB=∠ABE=90°，AF∥BE，
∵EF⊥AD，
∴∠FAB=∠ABE=∠AFE=90°，
∴四邊形ABEF是矩形，
∵AE平分∠BAD，AF∥BE，
∴∠FAE=∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴四邊形ABEF是正方形；
（2）解：過點(diǎn)P作PH⊥AD于H，如圖所示：
∵四邊形ABEF是正方形，
∴BP=PF，BA⊥AD，∠PAF=45°，
∴AB∥PH，
∵AB=4，
∴AH=PH=2，
∵AD=7，
∴DH=AD-AH=7-2=5，
在Rt△PHD中，∠PHD=90°．
∴tan∠ADP=$\frac{PH}{HD}$=$\frac{2}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了矩形的性質(zhì)與判定、正方形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形是正方形是解決問題的關(guān)鍵．