Question

18．如圖，正方形ABCD、BGFE邊長(zhǎng)分別為2、1，正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，直線AE、GC相交于點(diǎn)H．
（1）在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，∠AHC的大小是否始終為90°，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）連接DH、BH，在正方形BGFE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，
①求DH的最大值；
②直接寫(xiě)出DH的最小值．

Answer 1

分析 （1）先判斷出△ABE≌△CBG，得到∠BAE=∠BCG，再進(jìn)行簡(jiǎn)單的代換即可；
（2）①先判斷出點(diǎn)A，B，H，C，D在以AC為直徑的同一個(gè)圓上，得到DH最大就是大正方形的對(duì)角線，即可；
②先由AE恒垂直CG于H，判斷出當(dāng)AE垂直于BE時(shí)，DH最短．如圖所示，得到點(diǎn)A，E，F(xiàn)（H）共線，再利用勾股定理和直角三角形的一條直角邊等于斜邊的一邊，得出∠BAE=30°，再利用三角函數(shù)和勾股定理計(jì)算即可．

解答 解：（1）是，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)知，∠ABE=CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE=∠BCG，
∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180°
∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°，
∴∠AHC=∠ABC=90°，
（2）①∵∠AHC=90°
∴點(diǎn)H在以AC為直徑的圓上，
由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°，
∴點(diǎn)B，D也在以AC為直徑的圓上，
∴點(diǎn)A，B，H，C，D在以AC為直徑的同一個(gè)圓上，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴BD也是這個(gè)圓的直徑，
∴當(dāng)H與點(diǎn)B重合時(shí)，DH最大為2$\sqrt{2}$，
②解：（1）是，理由如下：
由旋轉(zhuǎn)知，∠ABE=CBG，
在正方形ABCD，BGFE中，
AB=BC，BE=BG，∠ADC=∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，
∴△ABE≌△CBG，
∴∠BAE=∠BCG，
∵∠APB=∠CPH，∠ABC+∠BAE+∠APB=180°
∠AHC+∠BCG+∠CPH=180°，
∴∠AHC=∠ABC=90°，
（3）①∵∠AHC=90°
∴點(diǎn)H在以AC為直徑的圓上，
由（1）有，∠ABC=∠ADC=90°，
∴點(diǎn)B，D也在以AC為直徑的圓上，
∴點(diǎn)A，B，H，C，D在以AC為直徑的同一個(gè)圓上，
在正方形ABCD中，∠BCD=90°，
∴BD也是這個(gè)圓的直徑，
∴當(dāng)H與點(diǎn)B重合時(shí)，DH最大為2$\sqrt{2}$，
∵點(diǎn)A，B，H，C，D五點(diǎn)共圓，
∴當(dāng)∠DAH最小時(shí)，DH最小，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAE最大時(shí)，DH最小，
∴當(dāng)AE⊥BE時(shí)，∠BAE最大是30°，
∵AE恒垂直CG于H，
∴當(dāng)AE垂直于BE時(shí)，DH最短．
如圖，

∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°，
∵AB=2，BE=1，
∴AE=$\sqrt{3}$，∠BAE=30°，
∵點(diǎn)A，E，F(xiàn)共線，
∴AF=AE+EF=$\sqrt{3}$+1，
作FM⊥AD，
FM∥AB，
∴∠AFM=∠BAE=30°，
∴FM=AFcos∠AFM=（$\sqrt{3}$+1）cos30°=$\frac{\sqrt{3}+3}{2}$
AM=AFsin∠AFM=（$\sqrt{3}$+1）sin30°=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
∴DM=AD-AM=2-$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$=$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△DMF中，根據(jù)勾股定理得，DH=DF=$\sqrt{D{M}^{2}+F{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
即：DH的最小值為$\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中極值的確定方法，還用到了三角函數(shù)的意義，解本題的關(guān)鍵是作出圖形．