Question

已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、B），連接CE，過點(diǎn)B作CE的垂線交直線CE于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)G（如圖①）．
（1）求證：AE=CG；
（2）若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上時(shí)（如圖②），試猜想AE、CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請直接寫出你的結(jié)論；
（3）過點(diǎn)A作AH垂直于直線CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長線于點(diǎn)M（如圖③），找出圖中與BE相等的線段，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；
（2）如圖②，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；
（3）如圖③，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD=∠ACD=45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF=∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；

解答：解：（1）∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD．
在△BCG和△ACE中

∠BCD=∠A BC=CA ∠CBF=∠ACE

，
∴△BCG≌△ACE（ASA），
∴AE=CG；
（2）不變．AE=CG．
理由：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵BF⊥CE，
∴∠BFC=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
∴∠ACE=∠CBF
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠A=∠BCD．
在△BCG和△ACE中

∠BCD=∠A BC=CA ∠CBF=∠ACE

，
∴△BCG≌△ACE（ASA），
∴AE=CG；
（3）BE=CM，
：∵AC=BC，
∴∠ABC=∠CAB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠A=45°，∠ACE+∠BCE=90°．
∵AH⊥CE，
∴∠AHC=90°，
∴∠HAC+∠ACE=90°，
∴∠BCE=∠HAC．
∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC=BC，
∴∠BCD=∠ACD=45°
∴∠ACD=∠ABC．
在△BCE和△CAM中

∠BCE=∠CMA BC=CA ∠CBE=∠ACM

，
∴△BCE≌△CAM（ASA），
∴BE=CM．

點(diǎn)評：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．