Question

14．已知：AB∥DF，它們之間的距離等于AB；AC∥DE，它們之間的距離等于AC；CB∥EF，它們之間的距離等于BC，求證：A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂六點(diǎn)共圓．

Answer 1

分析 利用三角形的面積的計(jì)算得出$\frac{A{A}_{1}}{AB}=\frac{A{A}_{2}}{AC}$，從而判斷出△A₁AA₂∽△BAC，得出點(diǎn)A₁，B₂，C₂，A₂四點(diǎn)共圓，用同樣的方法判斷出∠AB₂B₁=∠ACB，得到四邊形A₁B₁B₂A₂是等腰梯形，即：點(diǎn)A₁，B₁，B₂，A₂四點(diǎn)共圓，進(jìn)而得到點(diǎn)B₁在⊙O上，同理判斷出點(diǎn)C₁在⊙O上，結(jié)論得證．

解答 證明：如圖，過點(diǎn)A₁作A₁F⊥AB，過點(diǎn)A₂作A₂G⊥AC，
∴A₁F=AB，A₂G=AC
∵S_△AA1A2=$\frac{1}{2}$AA₁×A₂G=$\frac{1}{2}$AA₂×A₁F，
∴AA₁×AC=AA₂×AB，
∴$\frac{A{A}_{1}}{AB}=\frac{A{A}_{2}}{AC}$，
∵∠A₁AA₂=∠BAC
∴△A₁AA₂∽△BAC，
∴∠A₂A₁A=∠ABC，∠A₁A₂A=∠ACB
∵BC∥EF
∴∠AB₂E=∠ABC，
∴∠A₂A₁A=∠AB₂E，
∴點(diǎn)A₁，B₂，C₂，A₂四點(diǎn)共圓，
設(shè)點(diǎn)A₁，B₂，A₂確定的圓的圓心為O，
∴OA₁=OB₂=OA₂=OC₂
同理：∠AB₂B₁=∠ACB，
∴∠A₁A₂A=∠AB₂B₁，
∵AB∥DF，
∴四邊形A₁B₁B₂A₂是等腰梯形，
∴點(diǎn)A₁，B₁，B₂，A₂四點(diǎn)共圓，
∴點(diǎn)B₁在⊙O上，
同理：點(diǎn)C₁也在⊙O上，
∴A₁、B₁、C₁、A₂、B₂、C₂六點(diǎn)共圓．

點(diǎn)評 此題是四點(diǎn)共圓題目，主要考查了三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的方法，判斷出點(diǎn)A₁，B₂，C₂，A₂四點(diǎn)共圓是解本題的關(guān)鍵，得出四邊形A₁B₁B₂A₂是等腰梯形是解本題的難點(diǎn)．