Question

17．（1）如圖1，銳角△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD和等邊△ACE，連結(jié)BE、CD，試猜想BE與CD的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，AD=CD，∠ABC=30°，∠ADC=60°，求BD的長；
（3）如圖3，四邊形ABCD中，AB=4，BC=3，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）利用∠ADC=60°，AD=DC可把△ADB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DCE，如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可判斷△DBE為等邊三角形，得到BD=BE，接著利用∠ABC=30°可得到Rt△BCE，然后利用勾股定理計算出BE，從而得到BD的長．
（3）如圖3，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解．

解答 解：（1）CD=EB，
理由是：∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=EB；
（2）∵∠ADC=60°，AD=DC，
∴把△ADB繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DCE，如圖2，連接BE，
∴DB=DE，CE=AB=4，∠DEC=∠DBA，∠BDE=60°，
∴△DBE為等邊三角形，
∴BD=BE，∠DBE=∠DEB=60°，
即∠DEC+∠CEB+∠CBE+∠CBD=120°，
∵∠ABC=30°，
∴∠DBA+∠CBD=30°，
∴∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠BCE=90°，
在Rt△BCE中，BE=$\sqrt{B{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴BD的長為5；
（3）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，
∵∠ACD=∠ADC=45°，
∴AC=AD，∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAC=∠BAD}\\{AC=AD}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴BD=CE．
∵AE=AB=4，
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，∠ABE=45°，
∵∠ABC=45°，
∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，
∴EC=$\sqrt{（4\sqrt{2}）^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴BD=CE=$\sqrt{41}$．

點評 本題是三角形的綜合題，難度適中，考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理，全等三角形的判定結(jié)合全等三角形的性質(zhì)是證明線段相等或角相等的工具，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．