Question

6．已知正方形ABCD的邊長是4，對角線交于點O，F(xiàn)為BC上一點，連接OF、AF，若OF=$\sqrt{5}$，則線段AF的長度的是$\sqrt{17}$或5．

Answer 1

分析 過點O作BC的垂線，垂足為E．根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OA=OC，∠ABC=90°，又OE∥AB，得出BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，OE=$\frac{1}{2}$AB=2．在Rt△OEF中利用勾股定理求出EF=1．再分兩種情況討論：①F在線段BE上；②F在線段CE上，分別求出BF的長，由勾股定理求出AF的長．

解答 解：過點O作BC的垂線，垂足為E．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠ABC=90°，
∵OE⊥BC，
∴OE∥AB，
∴BE=EC=$\frac{1}{2}$BC=2，OE=$\frac{1}{2}$AB=2．
∵在Rt△OEF中，∠OEB=90°，OF=$\sqrt{5}$，OE=2，
∴EF=$\sqrt{O{F}^{2}-O{E}^{2}}$=1．
分兩種情況討論：
①F在線段BE上時，如圖1，
此時BF=BE-EF=2-1=1，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=1，
∴AF=$\sqrt{{AB}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
②F在線段CE上時，如圖2，
此時BF=BE+EF=2+1=3，
在Rt△ABF中，∵AB=4，BF=3，
∴AF=$\sqrt{{AB}^{2}+B{F}^{2}}$=5；
故答案為：$\sqrt{17}$或5．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)和勾股定理，利用數(shù)形結(jié)合與分類討論是解題的關(guān)鍵．