Question

12．如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=120°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC上的一動點(diǎn)，則EF+BF的最小值是（　�。�

• A． 4
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． 4$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 首先連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF．證明只有點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)M時，EF+BF取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值．

解答 解：連接DB，DE，設(shè)DE交AC于M，連接MB，DF，延長BA，DH⊥BA于H，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴點(diǎn)B關(guān)于AC的對稱點(diǎn)為D，
∴FD=FB，
∴FE+FB=FE+FD≥DE．
只有當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到點(diǎn)M時，取等號（兩點(diǎn)之間線段最短），
△ABD中，AD=AB，∠DAB=120°，
∴∠HAD=60°，
∵DH⊥AB，
∴AH=$\frac{1}{2}$AD，DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AD，
∵菱形ABCD的邊長為4，E為AB的中點(diǎn)，
∴AE=2，AH=2，
∴EH=4，DH=2$\sqrt{3}$，
在Rt△EHD中，DE=$\sqrt{E{H}^{2}+D{H}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴EF+BF的最小值為2$\sqrt{7}$．
故選D．

點(diǎn)評 此題主要考查菱形是軸對稱圖形的性質(zhì)，知道什么時候會使EF+BF成為最小值是解本題的關(guān)鍵．