Question

3．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-2，0）和點B（6，0），與y軸交于點C（0，3），點D是拋物線上的點，且CD∥x軸，點E是拋物線的頂點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）平移該拋物線的對稱軸所在直線L，當(dāng)L平移到何處時，恰好將△BCD的面積分為相等的兩部分？
（3）點F在線段CD上，若以點C，E，F(xiàn)為頂點的三角形與△COE相似，試求點F的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）首先求得D的坐標(biāo)，則CD的長即可求得，進(jìn)而求得△BCD的面積，當(dāng)l平移至l₁，l₁與CD、BC分別交于點M、N，易證△CMN∽△BOC，求得CM和MN的關(guān)系，利用三角形的面積公式即可求解；
（3）分成△COE∽△ECF和△COE∽△FCE兩種情況，利用相似三角形的對應(yīng)邊的比相等即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+c=0}\\{36a+6b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{4}}\\{b=1}\\{c=3}\end{array}\right.$．
則拋物線的解析式是y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3；
（2）拋物線y=-$\frac{1}{4}$x²+x+3的對稱軸是x=2．
∵CD∥x軸，C的坐標(biāo)是（0，3），
∴D的坐標(biāo)是（4，3），
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}$CD•OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6．
如圖，當(dāng)l平移至l₁，l₁與CD、BC分別交于點M、N．
∴∠MCN=∠CBO，∠CMN=∠BOC=90°，
∴△CMN∽△BOC，
∴$\frac{CM}{MN}$=$\frac{BO}{OC}$=$\frac{6}{3}$=2，
∴CM=2MN，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$CM•MN=$\frac{1}{4}$CM²．
∵S_△CMN=$\frac{1}{2}$S_△BCD，
∴$\frac{1}{4}$CM²=3，
∴CM=2$\sqrt{3}$．
∴當(dāng)l平移到直線x=2$\sqrt{3}$處時，恰好將△BCD的面積分成面積相等的兩部分；
（3）設(shè)對稱軸l交CD于點P，過點E作EQ⊥y軸，垂足為點Q．
∵E（2，4），C（0，3），CD∥x軸，
∴$\frac{EQ}{OQ}$=$\frac{EP}{CP}$=$\frac{1}{2}$，
又∵∠EQO=∠EPC=90°，
∴△EQC∽△EPC，
∴∠COE=∠ECD．
∵C（0，3），E（2，4），
∴CE=$\sqrt{5}$，OE=2$\sqrt{5}$．
分成兩種情況：
當(dāng)△COE∽△ECF是，$\frac{CO}{CE}$=$\frac{OE}{CF}$，
∴CF=$\frac{10}{3}$，
∴F的坐標(biāo)是（$\frac{10}{3}$，3）；
當(dāng)△COE∽△FCE時，$\frac{CO}{CF}$=$\frac{OE}{CE}$，
∴CF=$\frac{3}{2}$．
∴F的坐標(biāo)是（$\frac{3}{2}$，3）．
則滿足條件的F的坐標(biāo)是（$\frac{10}{3}$，3）或（$\frac{3}{2}$，3）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確分成△COE∽△ECF和△COE∽△FCE兩種情況進(jìn)行討論是關(guān)鍵．