Question

11．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+2k=0
（1）求證：不論k為何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若等腰△ABC的兩邊的長(zhǎng)度是該方程的兩個(gè)根，第三邊長(zhǎng)度為3，求出此時(shí)△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）先計(jì)算△，化簡(jiǎn)得到△=（2k-1）²，易得△≥0，然后根據(jù)△的意義即可得到結(jié)論；
（2）利用因式分解法求出方程的兩根x₁=2k，x₂=1，設(shè)a=3，b=2k，c=1，然后討論：當(dāng)a、b為腰；當(dāng)b、c為腰，分別求出邊長(zhǎng)，但要滿足三角形三邊的關(guān)系，最后計(jì)算周長(zhǎng)．

解答 （1）證明：∵△=（4k+1）²-4•2k
=4k²+1+4k-8k
=4k²-4k+1
=（2k-1）²≥0，
∴無(wú)論k取何值，方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵x²-（2k+1）x+2k=0，
∴（x-2k）（x-1）=0，
∴x₁=2k，x₂=1．
∵等腰△ABC的兩邊的長(zhǎng)度是該方程的兩個(gè)根，第三邊長(zhǎng)度為3，設(shè)a=3，b=2k，c=1，
當(dāng)a、b為腰，則a=b=3，即2k=3，解得k=1.5，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)=3+3+1=7；
當(dāng)b、c為腰時(shí)，b=c=1，此時(shí)b+c＜a，故此種情況不存在．
綜上所述，△ABC的周長(zhǎng)為7．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了三角形三邊的關(guān)系以及分類討論思想的運(yùn)用．