Question

（本題10分）已知：拋物線以點C為頂點且過點B，拋物線以點B為頂點且過點C，分別過點B、C作軸的平行線，交拋物線、于點A、D，E、F分別為AB、CD中點，連結(jié)EC、BF，且AE=BF．

（1）如圖1，①求證四邊形ECFB為正方形；②求點A的坐標(biāo)；

（2）①如圖2，若將拋物線“”改為“”，其他條件不變，求CD的長；

②如圖3，若將拋物線“”改為“”，其他條件不變，求的值；

（3）若將拋物線“”改為拋物線“”，其他條件不變，請用含b2的

代數(shù)式表示b1．

 

Answer 1

（1）①詳見解析；② A（-1,1）；（2）①2；② ；（3）或

【解析】

試題分析：（1）①由于AB∥x軸，顯然點A、B關(guān)于拋物線y1=x2的對稱軸對稱，可得AC=BC，已知AB=AC，那么△ABC必為等邊三角形；

②由拋物線y1的解析式設(shè)出點A的坐標(biāo)，再根據(jù)△ABC是等邊三角形列出點A橫、縱坐標(biāo)的關(guān)系式，以此確定點A的坐標(biāo)．

（2）①若稱AB與拋物線y1對稱軸的交點為E，可設(shè)AE=BE=m（m＞0），在等邊△ABC中，CE=m，可用m表示出點B的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中即可求出m的值，則AB的長可求；在（1）的解答過程中，不難看出△ABC、△BCD都是等邊三角形，因此由CD=BC=AB即可得解；

②將y1的解析式寫成頂點式，即：y1=3（x﹣h）2+k，首先根據(jù)等邊△ABC的特點表達(dá)出點B的坐標(biāo)，將點B的坐標(biāo)代入拋物線y1的解析式中，由此求得m的值；拋物線y2以點B為頂點，可先寫成頂點式，再將點A的坐標(biāo)代入其中來確定a2的值．

（3）由于這個小題并沒有說明按給出的三個圖求解，所以還需考慮拋物線y2在y1左側(cè)的情況，但解法是相同的，仍以y2在y1右側(cè)為例進(jìn)行說明：

在（2）①的解答過程中，我們不難看出CD=AB=m=，而AB的長度正好是兩個拋物線對稱軸的差的絕對值，那么可以拿CD的長來作為等量關(guān)系列出關(guān)系式，據(jù)此求得b1、b2的關(guān)系式．

試題解析：（1）①∵AB∥x軸，∴A、B關(guān)于y軸對稱，即AC=BC；

又∵AB=AC，∴AB=AC=BC；

即：△ABC是等邊三角形．

②設(shè)點A的坐標(biāo)為（x，x2）（x＜0）；

在等邊△ABC中，x2=tan60°•（﹣x），解得：x1=0、x2=﹣

∴A（﹣，3）．

（2）設(shè)線段AB交拋物線y1的對稱軸于點E，AE=BE=m（m＞0）；

①如圖（2）﹣①，在Rt△BCE中，BE=m，EC=m，則B（m，m+1）；

由于點B在y1=x2+1的函數(shù)圖象上，所以有：

m+1=m2+1，解得：m=

∴AB=2BE=2m=2；

同（1）①可知，△BCD、△ABC都是等邊三角形，則CD=AB=2．

②設(shè)拋物線y1=3x2+b1x+c1=3（x﹣h）2+k，則C（h，k）、B（h+m，k+m）；

由于點B在y1=3（x﹣h）2+k上，有：

k+m=3m2+k，解得：m=

∴B（h+，k+1）；

則拋物線y2=a2（x﹣h﹣）2+k+1，代入C（h，k），得：

a2×+k+1=k，解得：a2=﹣3．

（3）由（2）②知，a2=﹣a1；

由（2）①知，CD=AB=m=|﹣﹣（﹣）|=||，

而m=||（由（2）的解答過程可知），則：

||=||，解得：b1+b2=±2；

即：或 ．

考點: 二次函數(shù)綜合題